5 Fragen zu Orthogonal

Um zu bestimmen, ob die Gerade f orthogonal zur Geraden h = -1 ist, müssen wir zunächst verstehen, was die Gleichung h = -1 bedeutet. Diese Gleichung beschreibt eine horizontale Linie, die durch den Punkt (x, -1) verläuft und somit eine Steigung von 0 hat. Eine Gerade ist orthogonal zu einer anderen, wenn das Produkt ihrer Steigungen -1 ergibt. Da die Steigung der Geraden h = -1 gleich 0 ist, benötigt die Gerade f eine unendliche Steigung, um orthogonal zu sein. Dies bedeutet, dass f eine vertikale Linie sein muss. Wenn f also eine vertikale Linie ist, dann ist sie orthogonal zur horizontalen Linie h = -1.

Um zu überprüfen, ob die Geraden orthogonal sind, müssen wir die Steigungen der beiden Geraden betrachten. Die Gerade \( g(x) = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \) kann umgeschrieben werden in die Form \( y = mx + b \). Hier ist die Steigung \( m_g = 0 \), da es sich um eine horizontale Linie handelt. Die Gerade \( f(x) = 2x + 1 \) hat die Steigung \( m_f = 2 \). Zwei Geraden sind orthogonal, wenn das Produkt ihrer Steigungen \(-1\) ergibt. Das bedeutet: \[ m_g \cdot m_f = -1 \] In diesem Fall: \[ 0 \cdot 2 = 0 \] Da \( 0 \) nicht gleich \(-1\) ist, sind die Geraden \( g(x) \) und \( f(x) \) nicht orthogonal.

Um die lineare Funktion \( g \) zu ermitteln, die orthogonal zur Funktion \( f(x) = 4x + 4 \) verläuft und durch den Punkt \( Q(1, 1) \) geht, müssen wir zunächst die Steigung der Funktion \( f \) bestimmen. Die Steigung von \( f \) ist 4. Da zwei Linien orthogonal zueinander sind, ist das Produkt ihrer Steigungen gleich -1. Wenn die Steigung von \( f \) 4 ist, dann ist die Steigung von \( g \): \[ m_g = -\frac{1}{4} \] Jetzt verwenden wir die Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung, um die Funktion \( g \) zu bestimmen. Die allgemeine Form lautet: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Hier ist \( (x_1, y_1) = (1, 1) \) und \( m = -\frac{1}{4} \). Setzen wir die Werte ein: \[ y - 1 = -\frac{1}{4}(x - 1) \] Nun lösen wir die Gleichung auf: \[ y - 1 = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{4} \] \[ y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{4} + 1 \] \[ y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4} \] Die gesuchte lineare Funktion \( g \) ist also: \[ g(x) = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4} \]

Um die lineare Funktion \( g \) zu ermitteln, dieogonal zur Funktion \( f(x) = 4x + 4 \) verläuft und durch den Punkt \( Q(1, 1) \) geht, müssen wir zunächst die Steigung der Funktion \( f \) bestimmen. Die Steigung von \( f \) ist \( m_f = 4 \). Eine Funktion, die orthogonal zu \( f \) ist, hat eine negative reziproke Steigung. Das bedeutet, dass die Steigung \( m_g \) von \( g \) gegeben ist durch: \[ m_g = -\frac{1}{m_f} = -\frac{1}{4} \] Jetzt verwenden wir die Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung, um die Funktion \( g \) zu bestimmen. Die allgemeine Form lautet: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Hierbei ist \( (x_1, y_1) = (1, 1) \) und \( m = -\frac{1}{4} \). Setzen wir die Werte ein: \[ y - 1 = -\frac{1}{4}(x - 1) \] Nun lösen wir die Gleichung nach \( y \) auf: \[ y - 1 = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{4} \] \[ y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{4} + 1 \] \[ y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4} \] Die gesuchte lineare Funktion \( g \) ist also: \[ g(x) = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4} \]

Orthogonale Achskoordinaten sind ein System zur Beschreibung von Punkten im Raum, bei dem die Achsen senkrecht (orthogonal) zueinander stehen. In einem dreidimensionalen Raum gibt es typischerweise drei Achsen: x, y und z. Jede Achse repräsentiert eine Dimension, und die Position eines Punktes wird durch ein Tripel von Werten (x, y, z) angegeben, die die Abstände des Punktes von den jeweiligen Achsen beschreiben. Ein Beispiel für orthogonale Achskoordinaten sind die kartesischen Koordinaten, bei denen die Achsen in einem rechtwinkligen System angeordnet sind. Orthogonale Koordinatensysteme sind in der Mathematik und Physik weit verbreitet, da sie die Analyse und Berechnung von geometrischen und physikalischen Problemen erleichtern.