9 Fragen zu Koordinatenachsen

Um die Schnittpunkte einer Polynomfunktion mit den Koordinatenachsen zu finden, gehst du wie folgt vor: 1. **Schnittpunkte mit der y-Achse:** - Setze \( x = 0 \) in die Polynomfunktion ein. - Der Wert der Funktion an dieser Stelle ist der y-Achsenabschnitt. - Beispiel: Für die Funktion \( f(x) = 2x^3 - 4x + 1 \) setzt du \( x = 0 \) ein: \[ f(0) = 2(0)^3 - 4(0) + 1 = 1 \] - Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist also \( (0, 1) \). 2. **Schnittpunkte mit der x-Achse:** - Setze \( f(x) = 0 \) und löse die Gleichung nach \( x \) auf. - Dies kann je nach Grad des Polynoms unterschiedlich schwierig sein. - Beispiel: Für die Funktion \( f(x) = 2x^3 - 4x + 1 \) setzt du \( f(x) = 0 \): \[ 2x^3 - 4x + 1 = 0 \] - Diese Gleichung musst du nun nach \( x \) lösen. Das kann durch Faktorisierung, Substitution oder numerische Methoden geschehen. Für komplexere Polynomgleichungen kann es hilfreich sein, numerische Methoden oder Computer-Algebra-Systeme (CAS) zu verwenden, um die Nullstellen zu finden.

Um die Schnittpunkte der Parabel \( y = x^2 - 12x + 32 \) mit den Koordinatenachsen zu berechnen, gehen wir wie folgt vor: 1. **Schnittpunkt mit der y-Achse**: Dieser Punkt tritt auf, wenn \( x = 0 \). \[ y = 0^2 - 12 \cdot 0 + 32 = 32 \] Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist also \( (0, 32) \). 2. **Schnittpunkte mit der x-Achse**: Diese Punkte treten auf, wenn \( y = 0 \). Wir setzen die Gleichung gleich null und lösen die quadratische Gleichung: \[ 0 = x^2 - 12x + 32 \] Um die Nullstellen zu finden, verwenden wir die Mitternachtsformel: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \( a = 1 \), \( b = -12 \), und \( c = 32 \): \[ x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2} \] \[ x = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{12 \pm 4}{2} \] Dies ergibt zwei Lösungen: \[ x_1 = \frac{16}{2} = 8 \quad \text{und} \quad x_2 = \frac{8}{2} = 4 \] Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind also \( (8, 0) \) und \( (4, 0) \). Zusammenfassend sind die Schnittpunkte der Parabel mit den Koordinatenachsen: - Mit der y-Achse: \( (0, 32) \) - Mit der x-Achse: \( (8, 0) \) und \( (4, 0) \)

Um die Schnittpunkte der Funktion \( f(x) = -(x-1)^2 + 9 \) mit den Koordinatenachsen zu bestimmen, gehst du wie folgt vor: 1. **Schnittpunkt mit der y-Achse**: Dieser Punkt tritt auf, wenn \( x = 0 \). Setze \( x = 0 \) in die Funktion ein: \[ f(0) = - (0 - 1)^2 + 9 = -1 + 9 = 8 \] Der Schnittpunkt der y-Achse ist also \( (0, 8) \). 2. **Schnittpunkte mit der x-Achse**: Diese Punkte treten auf, wenn \( f(x) = 0 \). Setze die Funktion gleich null und löse die Gleichung: \[ -(x-1)^2 + 9 = 0 \] Umstellen ergibt: \[ (x-1)^2 = 9 \] Nun ziehe die Quadratwurzel: \[ x - 1 = 3 \quad \text{oder} \quad x - 1 = -3 \] Das ergibt: \[ x = 4 \quad \text{oder} \quad x = -2 \] Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind also \( (4, 0) \) und \( (-2, 0) \). Zusammenfassend sind die Schnittpunkte der Funktion \( f(x) \) mit den Koordinatenachsen: - Mit der y-Achse: \( (0, 8) \) - Mit der x-Achse: \( (4, 0) \) und \( (-2, 0) \)

Um die Schnittstellen der Funktion \( f(x) = 9x - 12 \) mit den Koordinatenachsen zu berechnen, gehen wir wie folgt vor: 1. **Schnittstelle mit der y-Achse**: Diese Schnittstelle findet man, indem man \( x = 0 \) setzt. \[ f(0) = 9(0) - 12 = -12 \] Die Schnittstelle mit der y-Achse ist also der Punkt \( (0, -12) \). 2. **Schnittstelle mit der x-Achse**: Diese Schnittstelle findet man, indem man \( f(x) = 0 \) setzt. \[ 0 = 9x - 12 \] \[ 9x = 12 \] \[ x = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \] Die Schnittstelle mit der x-Achse ist also der Punkt \( \left( \frac{4}{3}, 0 \right) \). Zusammenfassend sind die Schnittstellen mit den Koordinatenachsen: - y-Achse: \( (0, -12) \) - x-Achse: \( \left( \frac{4}{3}, 0 \right) \)

Um die Schnittstellen der Funktion \( f(x) = 0,2x + 100 \) mit den Koordinatenachsen zu berechnen, gehen wir wie folgt vor: 1. **Schnittstelle mit der y-Achse**: Diese Schnittstelle findet man, indem man \( x = 0 \) setzt. \[ f(0) = 0,2 \cdot 0 + 100 = 100 \] Die Schnittstelle mit der y-Achse ist also der Punkt \( (0, 100) \). 2. **Schnittstelle mit der x-Achse**: Diese Schnittstelle findet man, indem man \( f(x) = 0 \) setzt. \[ 0 = 0,2x + 100 \] Um \( x \) zu isolieren, subtrahiere 100 von beiden Seiten: \[ -100 = 0,2x \] Jetzt teile beide Seiten durch 0,2: \[ x = \frac{-100}{0,2} = -500 \] Die Schnittstelle mit der x-Achse ist also der Punkt \( (-500, 0) \). Zusammenfassend sind die Schnittstellen mit den Koordinatenachsen: - y-Achse: \( (0, 100) \) - x-Achse: \( (-500, 0) \)

Um die Schnittpunkte der Funktion \( f(x) = -x + 5 \) mit den Koordinatenachsen zu berechnen, gehen wir wie folgt vor: 1. **Schnittpunkt mit der y-Achse**: Dieser Punkt tritt auf, wenn \( x = 0 \). \[ f(0) = -0 + 5 = 5 ] Der Schnitt mit der y-Achse ist also \( (0, 5) \). 2. **Schnittpunkt mit der x-Achse**: Dieser Punkt tritt auf, wenn \( f(x) = 0 \). \[ 0 = -x + 5 \implies x = 5 \] Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also \( (5, 0) \). Zusammenfassend sind die Schnittpunkte: - Mit der y-Achse: \( (0, 5) \) - Mit der x-Achse: \( (5, 0) \)

Um den Abstand eines Punktes von den Koordinatenachsen abzulesen, benötigst du die Koordinaten des Punktes, die in der Regel in der Form (x, y) angegeben sind. Hier ist, wie du den Abstand von den Achsen bestimmen kannst: 1. **Abstand von der x-Achse**: Der Abstand eines Punktes von der x-Achse ist einfach der Betrag des y-Wertes. Das bedeutet, wenn der Punkt die Koordinaten (x, y) hat, ist der Abstand von der x-Achse |y|. 2. **Abstand von der y-Achse**: Der Abstand eines Punktes von der y-Achse ist der Betrag des x-Wertes. Das bedeutet, wenn der Punkt die Koordinaten (x, y) hat, ist der Abstand von der y-Achse |x|. Zusammengefasst: - Abstand von der x-Achse = |y| - Abstand von der y-Achse = |x| Diese Abstände sind immer positiv, da sie die Entfernung darstellen.

Um die Schnittstellen der Funktion \( f(x) = 12x + 24 \) mit den Koordinatenachsen zu berechnen, gehen wir wie folgt vor: 1. **Schnittstelle mit der y-Achse**: Diese Schnittstelle findet man, indem man \( x = 0 \) setzt. \[ f(0) = 12(0) + 24 = 24 \] Die Schnittstelle mit der y-Achse ist also der Punkt \( (0, 24) \). 2. **Schnittstelle mit der x-Achse**: Diese Schnittstelle findet man, indem man \( f(x) = 0 \) setzt. \[ 0 = 12x + 24 \] Um \( x \) zu isolieren, subtrahiere 24 von beiden Seiten: \[ -24 = 12x \] Teile nun durch 12: \[ x = -2 \] Die Schnittstelle mit der x-Achse ist also der Punkt \( (-2, 0) \). Zusammenfassend sind die Schnittstellen mit den Koordinatenachsen: - y-Achse: \( (0, 24) \) - x-Achse: \( (-2, 0) \)

Um die Schnittstellen der Funktion \( f(x) = 1,5x - 1,5 \) mit den Koordinatenachsen zu berechnen, gehen wir wie folgt vor: 1. **Schnittstelle mit der y-Achse**: Diese Schnittstelle findet man, indem man \( x = 0 \) setzt. \[ f(0) = 1,5 \cdot 0 - 1,5 = -1,5 \] Die Schnittstelle mit der y-Achse ist also der Punkt \( (0, -1,5) \). 2. **Schnittstelle mit der x-Achse**: Diese Schnittstelle findet man, indem man \( f(x) = 0 \) setzt. \[ 0 = 1,5x - 1,5 \] Um \( x \) zu isolieren, addiere \( 1,5 \) zu beiden Seiten: \[ 1,5x = 1,5 \] Teile nun durch \( 1,5 \): \[ x = 1 \] Die Schnittstelle mit der x-Achse ist also der Punkt \( (1, 0) \). Zusammenfassend sind die Schnittstellen mit den Koordinatenachsen: - y-Achse: \( (0, -1,5) \) - x-Achse: \( (1, 0) \)