Berechne die Schnittpunkte der Parabel y=x²-12x+32 mit den Koordinatenachsen.

Question

Berechne die Schnittpunkte der Parabel y=x²-12x+32 mit den Koordinatenachsen.

Antwort

Verwandte Fragen

Parabel schneidet bei x = -2 und x = 4 die x-Achse. Wie lautet b und die Parabelgleichung?

Wie lautet eine Beispielaufgabe zu Schnittpunkten zwischen einer quadratischen Kostenkurve und einer linearen Erlösgeraden mit einfachen Zahlen und Lösung?

Können sich vier Linien in genau zwei Punkten schneiden?

Wie viele Schnittpunkte können vier Geraden haben?

Warum ist ein exaktes Winkeldritteln mit Hilfe der Parabel y = x^2 für beliebige Winkel möglich, obwohl es als unmöglich bewiesen ist?

Accepted Answer

Um die Schnittpunkte der Parabel \( y = x^2 - 12x + 32 \) mit den Koordinatenachsen zu berechnen, gehen wir wie folgt vor: 1. **Schnittpunkt mit der y-Achse**: Dieser Punkt tritt auf, wenn \( x = 0 \). \[ y = 0^2 - 12 \cdot 0 + 32 = 32 \] Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist also \( (0, 32) \). 2. **Schnittpunkte mit der x-Achse**: Diese Punkte treten auf, wenn \( y = 0 \). Wir setzen die Gleichung gleich null und lösen die quadratische Gleichung: \[ 0 = x^2 - 12x + 32 \] Um die Nullstellen zu finden, verwenden wir die Mitternachtsformel: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \( a = 1 \), \( b = -12 \), und \( c = 32 \): \[ x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2} \] \[ x = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{12 \pm 4}{2} \] Dies ergibt zwei Lösungen: \[ x_1 = \frac{16}{2} = 8 \quad \text{und} \quad x_2 = \frac{8}{2} = 4 \] Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind also \( (8, 0) \) und \( (4, 0) \). Zusammenfassend sind die Schnittpunkte der Parabel mit den Koordinatenachsen: - Mit der y-Achse: \( (0, 32) \) - Mit der x-Achse: \( (8, 0) \) und \( (4, 0) \)

Accepted Answer

Gegeben ist, dass die Parabel die x-Achse bei \( x = -2 \) und \( x = 4 \) schneidet. Das bedeutet, die Nullstellen der Parabel sind \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = 4 \). Die allgemeine Form einer Parabe... [mehr]

Accepted Answer

Gegeben ist, dass die Parabel die x-Achse bei \( x = -2 \) und \( x = 4 \) schneidet. Das bedeutet, die Nullstellen der Parabel sind \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = 4 \). Die allgemeine Form einer Parabel (quadratische Funktion) mit den Nullstellen \( x_1 \) und \( x_2 \) lautet: \[ y = a(x - x_1)(x - x_2) \] Setze die Werte ein: \[ y = a(x + 2)(x - 4) \] Wenn keine weiteren Angaben (z.B. Scheitelpunkt oder ein Punkt, durch den die Parabel verläuft) gemacht werden, kann \( a \) beliebig gewählt werden. Häufig wird \( a = 1 \) angenommen, wenn nichts anderes gegeben ist. **1. Gleichung der Parabel (mit \( a = 1 \)):** \[ y = (x + 2)(x - 4) \] \[ y = x^2 - 4x + 2x - 8 \] \[ y = x^2 - 2x - 8 \] **2. Parameter \( b \) in der Form \( y = x^2 + bx + c \):** Vergleiche: \[ y = x^2 - 2x - 8 \] Hier ist \( b = -2 \). **Antwort:** - \( b = -2 \) - Die Gleichung der Parabel lautet: \( y = x^2 - 2x - 8 \) Falls ein anderer Wert für \( a \) gegeben ist, müsste dieser noch eingesetzt werden.

Accepted Answer

Hier ist ein Beispiel für eine passende Aufgabe: **Aufgabe:** Ein Unternehmen produziert und verkauft ein Produkt. Die Kosten \( K(x) \) für die Produktion von \( x \) Stück sind durc... [mehr]

Accepted Answer

Hier ist ein Beispiel für eine passende Aufgabe: **Aufgabe:** Ein Unternehmen produziert und verkauft ein Produkt. Die Kosten \( K(x) \) für die Produktion von \( x \) Stück sind durch die quadratische Funktion \[ K(x) = 2x^2 + 3x + 50 \] gegeben. Der Erlös \( E(x) \) beim Verkauf von \( x \) Stück beträgt \[ E(x) = 23x \]. Berechne die Schnittpunkte der Kostenkurve und der Erlösgeraden. Gib die Lösung mit Rechenweg an. --- **Lösung:** Gesucht sind die Werte von \( x \), für die \( K(x) = E(x) \): \[ 2x^2 + 3x + 50 = 23x \] \[ 2x^2 + 3x + 50 - 23x = 0 \] \[ 2x^2 - 20x + 50 = 0 \] Nun die quadratische Gleichung lösen: \[ x^2 - 10x + 25 = 0 \quad \text{(beide Seiten durch 2 teilen)} \] \[ (x - 5)^2 = 0 \] \[ x - 5 = 0 \implies x = 5 \] **Antwort:** Die Kostenkurve und die Erlösgerade schneiden sich bei \( x = 5 \). Das heißt, bei einer Produktionsmenge von 5 Stück sind Kosten und Erlös gleich hoch. **Überprüfung:** \[ K(5) = 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5 + 50 = 2 \cdot 25 + 15 + 50 = 50 + 15 + 50 = 115 \] \[ E(5) = 23 \cdot 5 = 115 \] Beide Werte stimmen überein.

Accepted Answer

Nein, vier Linien können sich im Allgemeinen nicht nur in genau zwei Punkten schneiden. **Begründung:** Wenn sich vier Linien schneiden, gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie sie s... [mehr]

Accepted Answer

Nein, vier Linien können sich im Allgemeinen nicht nur in genau zwei Punkten schneiden. **Begründung:** Wenn sich vier Linien schneiden, gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie sie sich schneiden können: - **Alle vier Linien gehen durch einen Punkt:** Dann schneiden sie sich in einem Punkt. - **Keine zwei Linien sind parallel, keine drei gehen durch einen Punkt:** Dann schneiden sich je zwei Linien in einem Punkt. Bei vier Linien gibt es \(\binom{4}{2} = 6\) Schnittpunkte. - **Zwei Paare von parallelen Linien:** Dann schneiden sich die Linien in vier Punkten (jede Linie des ersten Paars schneidet jede Linie des zweiten Paars). - **Drei Linien gehen durch einen Punkt, die vierte ist anders:** Dann gibt es mehr als zwei Schnittpunkte. Es ist **nicht möglich**, vier Geraden in einer Ebene so anzuordnen, dass sie sich **nur in genau zwei Punkten** schneiden. Entweder gibt es weniger (alle durch einen Punkt: 1 Schnittpunkt) oder mehr (mindestens 3, meistens 4 oder 6) Schnittpunkte. **Fazit:** Vier Linien können sich nicht in genau zwei Punkten schneiden.

Accepted Answer

Vier Geraden können sich auf verschiedene Arten schneiden, je nachdem, wie sie zueinander liegen. Die „Punkte“, die du meinst, sind vermutlich die Schnittpunkte der Geraden. **Allgem... [mehr]

Accepted Answer

Vier Geraden können sich auf verschiedene Arten schneiden, je nachdem, wie sie zueinander liegen. Die „Punkte“, die du meinst, sind vermutlich die Schnittpunkte der Geraden. **Allgemein gilt:** - Zwei Geraden schneiden sich (im Allgemeinen) in einem Punkt. - Wenn zwei Geraden parallel sind, schneiden sie sich nicht. - Wenn mehrere Geraden durch einen Punkt gehen (sich also alle in einem Punkt treffen), gibt es weniger Schnittpunkte. **Maximale Anzahl der Schnittpunkte:** Wenn keine zwei Geraden parallel sind und keine drei Geraden sich in einem Punkt schneiden, dann schneidet jede Gerade jede andere Gerade genau einmal. Die Anzahl der Schnittpunkte entspricht dann der Anzahl der Möglichkeiten, aus 4 Geraden jeweils 2 auszuwählen (denn jede Kombination von 2 Geraden ergibt einen Schnittpunkt): \[ \text{Anzahl der Schnittpunkte} = \binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \] **Mögliche Anzahl der Schnittpunkte:** - **6** (maximal, wenn keine zwei Geraden parallel sind und keine drei sich in einem Punkt schneiden) - **Weniger als 6**, wenn z.B. zwei Geraden parallel sind (dann fehlt ein Schnittpunkt), oder wenn drei oder mehr Geraden sich in einem Punkt treffen (dann „verschmelzen“ mehrere Schnittpunkte zu einem). **Zusammenfassung:** Vier Geraden können **maximal 6 Schnittpunkte** haben. Es sind aber auch weniger möglich, je nach Anordnung der Geraden.

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Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal für beliebige Winkel **unmöglich** – das wurde 1837 von Pierre Wantzel bewiesen. Der Beweis bezieht sich aber **ausschließlich... [mehr]

Accepted Answer

Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal für beliebige Winkel **unmöglich** – das wurde 1837 von Pierre Wantzel bewiesen. Der Beweis bezieht sich aber **ausschließlich** auf Konstruktionen, die nur mit Zirkel und Lineal durchgeführt werden dürfen. Wenn du aber eine Parabel, zum Beispiel \( y = x^2 \), als zusätzliches Hilfsmittel verwendest, verlässt du die klassischen Regeln der "Zirkel-und-Lineal-Konstruktion". Mit einer Parabel (oder anderen bestimmten Kurven, wie der Neusis-Konstruktion oder der sogenannten "Trisektrix") ist das exakte Winkeldritteln tatsächlich **möglich**. **Warum ist das so?** - Das Problem beim Winkeldritteln mit Zirkel und Lineal ist, dass die Gleichung, die du lösen musst (im Wesentlichen eine kubische Gleichung), mit diesen Werkzeugen nicht immer lösbar ist. - Mit einer Parabel kannst du aber geometrisch eine Konstruktion durchführen, die einer Lösung einer kubischen Gleichung entspricht. - Das heißt: Die Parabel erweitert die "Werkzeugkiste" so, dass du Aufgaben lösen kannst, die mit Zirkel und Lineal allein nicht gehen. **Fazit:** Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal unmöglich, aber mit einer Parabel (wie \( y = x^2 \)) möglich, weil du damit zusätzliche mathematische Operationen (wie das Lösen kubischer Gleichungen) geometrisch umsetzen kannst. Der Unmöglichkeitsbeweis gilt nur für die klassischen Werkzeuge, nicht für Konstruktionen mit Parabeln. Weitere Infos: - [Winkeldrittelung – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung) - [Wantzelscher Unmöglichkeitsbeweis – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung#Wantzelscher_Unm%C3%B6glichkeitsbeweis)