Das Ziegenproblem: In einer TV-Show muss sich ein Kandidat für eines von drei Toren entscheiden. Hinter einem Tor ist ein Auto, hinter den anderen zwei sind Ziegen. Sollte der Kandidat wechseln, nachdem ein Tor mit einer Ziege geöffnet wurde?

Question

Das Ziegenproblem: In einer TV-Show muss sich ein Kandidat für eines von drei Toren entscheiden. Hinter einem Tor ist ein Auto, hinter den anderen zwei sind Ziegen. Sollte der Kandidat wechseln, nachdem ein Tor mit einer Ziege geöffnet wurde?

Antwort

Verwandte Fragen

In einer Stadt mit 19000 Einwohnern, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, jemanden Bestimmten zu treffen?

Wenn man einen schwarzen und einen weißen Würfel gleichzeitig wirft, was ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl des weißen Würfels um eins größer ist?

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft man 5 unterschiedliche Augenzahlen bei 5 Würfeln?

Lisa würfelt fünfmal und hält die Augenzahlen 2, 3, 4 und 6. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim nächsten Wurf eine Eins zu erhalten?

Berechne die Wahrscheinlichkeiten, dass eine unbekannte Person an einem anderen Tag Geburtstag hat als du.

Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln eine durch 5 oder 3 teilbare Zahl erscheint.

Timo wirft einen blauen und einen roten Würfel einmal. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der rote durch 2 teilbar ist und der blaue beliebig.

Timo wirft einen blauen und einen roten Würfel. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass entweder der blaue Würfel 1 oder der rote Würfel 1 zeigt.

Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme größer als 10 ist, sowie die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, dass die Augensumme kleiner oder gleich 10 ist?

Was bedeutet 1/6 für das Auftreten einer Sechs bei einem Wurf und in einer Versuchsreihe?

Accepted Answer

Das Ziegenproblem, auch bekannt als Monty-Hall-Problem, ist ein bekanntes Wahrscheinlichkeitsrätsel. Es geht so: Ein Kandidat in einer TV-Show muss sich für eines von drei Toren entscheiden. Hinter einem der Tore befindet sich ein Auto (der Hauptgewinn), hinter den anderen beiden Toren jeweils eine Ziege. Nachdem der Kandidat ein Tor gewählt hat, öffnet der Moderator, der weiß, was sich hinter den Toren befindet, eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich eine Ziege befindet. Der Kandidat hat dann die Möglichkeit, seine Wahl zu ändern und das andere noch geschlossene Tor zu wählen. Die Frage ist: Sollte der Kandidat bei seiner ursprünglichen Wahl bleiben oder wechseln, um die besten Gewinnchancen zu haben? Die Antwort lautet: Der Kandidat sollte wechseln. Wenn der Kandidat seine Wahl ändert, erhöht sich die Gewinnchance auf 2/3, während sie bei Beibehaltung der ursprünglichen Wahl nur 1/3 beträgt.

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Person in einer Stadt mit 19.000 Einwohnern zu treffen, beträgt 1 zu 19.000 oder etwa 0,0053 % (1 geteilt durch 19.000 multipliziert mit 100). Das bedeutet,... [mehr]

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Person in einer Stadt mit 19.000 Einwohnern zu treffen, beträgt 1 zu 19.000 oder etwa 0,0053 % (1 geteilt durch 19.000 multipliziert mit 100). Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit sehr gering ist, diese spezifische Person zufällig zu treffen.

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die Augenzahl des weißen Würfels um eins größer ist als die des schwarzen Würfels, betrachten wir die möglichen Ergebnisse.... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die Augenzahl des weißen Würfels um eins größer ist als die des schwarzen Würfels, betrachten wir die möglichen Ergebnisse. Die Augenzahlen der Würfel reichen von 1 bis 6. Wenn wir die Augenzahl des schwarzen Würfels als \( x \) und die des weißen Würfels als \( y \) bezeichnen, suchen wir die Fälle, in denen \( y = x + 1 \). Die möglichen Kombinationen sind: - Wenn der schwarze Würfel 1 zeigt, kann der weiße Würfel 2 zeigen. - Wenn der schwarze Würfel 2 zeigt, kann der weiße Würfel 3 zeigen. - Wenn der schwarze Würfel 3 zeigt, kann der weiße Würfel 4 zeigen. - Wenn der schwarze Würfel 4 zeigt, kann der weiße Würfel 5 zeigen. - Wenn der schwarze Würfel 5 zeigt, kann der weiße Würfel 6 zeigen. Das bedeutet, dass es 5 günstige Kombinationen gibt: (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6). Die Gesamtanzahl der möglichen Kombinationen beim Werfen von zwei Würfeln ist \( 6 \times 6 = 36 \). Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl des weißen Würfels um eins größer ist als die des schwarzen Würfels, beträgt also: \[ P = \frac{5}{36} \] Das ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beim Wurf von 5 Würfeln alle 5 Würfel unterschiedliche Augenzahlen zeigen, kann man die folgende Überlegung anstellen: 1. **Anzahl der m&ou... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beim Wurf von 5 Würfeln alle 5 Würfel unterschiedliche Augenzahlen zeigen, kann man die folgende Überlegung anstellen: 1. **Anzahl der möglichen Ergebnisse**: Jeder Würfel hat 6 Seiten, also gibt es insgesamt \(6^5\) mögliche Kombinationen, wenn 5 Würfel geworfen werden. 2. **Anzahl der günstigen Ergebnisse**: Um 5 unterschiedliche Augenzahlen zu erhalten, kann der erste Würfel jede der 6 Zahlen zeigen. Der zweite Würfel kann dann nur noch 5 verschiedene Zahlen zeigen (da er sich von der ersten unterscheiden muss), der dritte Würfel 4, der vierte 3 und der fünfte 2. Das ergibt: \[ 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720 \] 3. **Wahrscheinlichkeit**: Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 5 Würfel unterschiedliche Augenzahlen zeigen, ist dann das Verhältnis der günstigen Ergebnisse zu den möglichen Ergebnissen: \[ P = \frac{720}{6^5} = \frac{720}{7776} = \frac{5}{54} \approx 0,0926 \] Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wurf von 5 Würfeln alle 5 Augenzahlen unterschiedlich sind, beträgt also etwa 9,26 %.

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit, eine Eins zu würfeln, bleibt unabhängig von den vorherigen Würfen konstant. Bei einem fairen Würfel gibt es sechs mögliche Ergebnisse (1, 2, 3, 4, 5, 6... [mehr]

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Die Wahrscheinlichkeit, eine Eins zu würfeln, bleibt unabhängig von den vorherigen Würfen konstant. Bei einem fairen Würfel gibt es sechs mögliche Ergebnisse (1, 2, 3, 4, 5, 6). Die Wahrscheinlichkeit, eine Eins zu würfeln, beträgt daher: \[ P(1) = \frac{1}{6} \approx 0,1667 \text{ oder } 16,67\% \] Die vorherigen Würfe beeinflussen diese Wahrscheinlichkeit nicht.

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine unbekannte Person an einem anderen Tag Geburtstag hat als du, gehen wir von der Annahme aus, dass es 365 Tage im Jahr gibt (ohne Schaltjahre). 1. **W... [mehr]

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine unbekannte Person an einem anderen Tag Geburtstag hat als du, gehen wir von der Annahme aus, dass es 365 Tage im Jahr gibt (ohne Schaltjahre). 1. **Wahrscheinlichkeit, dass die Person an deinem Geburtstag Geburtstag hat**: Es gibt 1 Tag, an dem die Person Geburtstag haben könnte, der mit deinem Geburtstag übereinstimmt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist also \( \frac{1}{365} \). 2. **Wahrscheinlichkeit, dass die Person an einem anderen Tag Geburtstag hat**: Da es 364 Tage gibt, an denen die Person nicht Geburtstag hat, ist die Wahrscheinlichkeit dafür \( \frac{364}{365} \). Zusammengefasst: Die Wahrscheinlichkeit, dass die unbekannte Person an einem anderen Tag Geburtstag hat als du, beträgt \( \frac{364}{365} \) oder etwa 99,73 %.

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Beim Würfeln mit einem fairen sechsseitigen Würfel gibt es die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Um die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse zu bestimmen, die durch 5 oder durch 3 teilbar... [mehr]

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Beim Würfeln mit einem fairen sechsseitigen Würfel gibt es die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Um die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse zu bestimmen, die durch 5 oder durch 3 teilbar sind, schauen wir uns die relevanten Zahlen an: - **Durch 5 teilbare Zahl:** Die einzige Zahl ist 5. - **Durch 3 teilbare Zahl:** Die Zahlen sind 3 und 6. Jetzt zählen wir die Zahlen, die entweder durch 5 oder durch 3 teilbar sind: - 3 - 5 - 6 Das sind insgesamt 3 Zahlen. Da es insgesamt 6 mögliche Ergebnisse beim Würfeln gibt, berechnet sich die Wahrscheinlichkeit wie folgt: \[ P(\text{durch 5 oder 3 teilbar}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln eine durch 5 oder durch 3 teilbare Zahl erscheint, beträgt also \( \frac{1}{2} \) oder 50%.

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die Augenzahl des roten Würfels durch 2 teilbar ist, während die des blauen Würfels beliebig sein kann, gehen wir wie folgt vor: 1. **M&oum... [mehr]

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die Augenzahl des roten Würfels durch 2 teilbar ist, während die des blauen Würfels beliebig sein kann, gehen wir wie folgt vor: 1. **Möglichkeiten für den roten Würfel**: Ein Würfel hat 6 Seiten mit den Zahlen 1 bis 6. Die Zahlen, die durch 2 teilbar sind, sind 2, 4 und 6. Das sind 3 mögliche Ergebnisse. 2. **Möglichkeiten für den blauen Würfel**: Der blaue Würfel kann ebenfalls die Zahlen 1 bis 6 zeigen, was 6 mögliche Ergebnisse bedeutet. 3. **Gesamtanzahl der möglichen Ergebnisse**: Da beide Würfel unabhängig voneinander geworfen werden, multiplizieren wir die Anzahl der Möglichkeiten: \[ 6 \text{ (blaue Würfel)} \times 6 \text{ (rote Würfel)} = 36 \text{ mögliche Ergebnisse.} \] 4. **Günstige Ergebnisse**: Die Anzahl der günstigen Ergebnisse, bei denen der rote Würfel eine durch 2 teilbare Zahl zeigt (2, 4 oder 6), beträgt 3. Für jeden dieser Fälle kann der blaue Würfel jede der 6 Zahlen zeigen. Daher gibt es: \[ 3 \text{ (günstige Ergebnisse für den roten Würfel)} \times 6 \text{ (beliebige Ergebnisse für den blauen Würfel)} = 18 \text{ günstige Ergebnisse.} \] 5. **Wahrscheinlichkeit**: Die Wahrscheinlichkeit \( P \) ist das Verhältnis der günstigen Ergebnisse zur Gesamtanzahl der Ergebnisse: \[ P = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}. \] Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl des roten Würfels durch 2 teilbar ist und die des blauen Würfels beliebig ist, beträgt also \( \frac{1}{2} \) oder 50%.

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass entweder der blaue Würfel eine 1 zeigt oder der rote Würfel eine 1 zeigt, können wir die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse betra... [mehr]

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass entweder der blaue Würfel eine 1 zeigt oder der rote Würfel eine 1 zeigt, können wir die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse betrachten und dann die Regel der additiven Wahrscheinlichkeiten anwenden. 1. **Wahrscheinlichkeit, dass der blaue Würfel eine 1 zeigt**: Der blaue Würfel hat 6 Seiten, also ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine 1 zeigt: \[ P(B = 1) = \frac{1}{6} \] 2. **Wahrscheinlichkeit, dass der rote Würfel eine 1 zeigt**: Der rote Würfel hat ebenfalls 6 Seiten, also ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine 1 zeigt: \[ P(R = 1) = \frac{1}{6} \] 3. **Wahrscheinlichkeit, dass beide Würfel eine 1 zeigen**: Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl der blaue als auch der rote Würfel eine 1 zeigen, ist: \[ P(B = 1 \text{ und } R = 1) = P(B = 1) \cdot P(R = 1) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \] 4. **Wahrscheinlichkeit, dass entweder der blaue oder der rote Würfel eine 1 zeigt**: Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass entweder der blaue oder der rote Würfel eine 1 zeigt, verwenden wir die Formel für die additive Wahrscheinlichkeit: \[ P(B = 1 \text{ oder } R = 1) = P(B = 1) + P(R = 1) - P(B = 1 \text{ und } R = 1) \] Setzen wir die Werte ein: \[ P(B = 1 \text{ oder } R = 1) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{36} \] Um die Brüche zu addieren, bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner (36): \[ P(B = 1 \text{ oder } R = 1) = \frac{6}{36} + \frac{6}{36} - \frac{1}{36} = \frac{11}{36} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass entweder der blaue Würfel eine 1 zeigt oder der rote Würfel eine 1 zeigt, beträgt also \(\frac{11}{36}\).

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Um die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "Augensumme ist größer als 10" und dessen Gegenereignis "Augensumme ist kleiner oder gleich 10" zu berechnen, betrachten... [mehr]

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Um die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "Augensumme ist größer als 10" und dessen Gegenereignis "Augensumme ist kleiner oder gleich 10" zu berechnen, betrachten wir das Würfeln mit zwei Würfeln. 1. **Gesamtanzahl der möglichen Ergebnisse**: Wenn man zwei Würfel wirft, gibt es insgesamt \(6 \times 6 = 36\) mögliche Kombinationen. 2. **Ereignis A: Augensumme ist größer als 10**: Die möglichen Kombinationen, die eine Augensumme größer als 10 ergeben, sind: - (5,6) - (6,5) - (6,6) Das sind insgesamt 3 Kombinationen. 3. **Ereignis B: Augensumme ist kleiner oder gleich 10**: Die Kombinationen, die eine Augensumme kleiner oder gleich 10 ergeben, sind alle anderen Kombinationen. Da es 36 Kombinationen insgesamt gibt und 3 davon eine Augensumme größer als 10 haben, gibt es \(36 - 3 = 33\) Kombinationen, die eine Augensumme kleiner oder gleich 10 ergeben. 4. **Wahrscheinlichkeiten**: - Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A (Augensumme größer als 10) ist: \[ P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \approx 0,0833 \] - Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis B (Augensumme kleiner oder gleich 10) ist: \[ P(B) = \frac{33}{36} = \frac{11}{12} \approx 0,9167 \] Zusammenfassend: - Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "Augensumme ist größer als 10" beträgt etwa 0,0833. - Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis "Augensumme ist kleiner oder gleich 10" beträgt etwa 0,9167.

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Die Bedeutung von 1/6 für das Auftreten einer Sechs bei einem einzelnen Wurf eines fairen Würfels ist, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln, 1 von 6 möglichen Ergebni... [mehr]

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Die Bedeutung von 1/6 für das Auftreten einer Sechs bei einem einzelnen Wurf eines fairen Würfels ist, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln, 1 von 6 möglichen Ergebnissen beträgt. Das bedeutet, dass bei einem einzelnen Wurf die Chance, eine Sechs zu erhalten, 16,67 % beträgt. In einer Versuchsreihe mit vielen Würfen wird die Bedeutung von 1/6 deutlicher. Je mehr Würfe du machst, desto näher wird die relative Häufigkeit des Auftretens einer Sechs der theoretischen Wahrscheinlichkeit von 1/6. Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass bei einer großen Anzahl von Versuchen die beobachtete Häufigkeit eines Ereignisses (in diesem Fall das Würfeln einer Sechs) sich der theoretischen Wahrscheinlichkeit annähert. Das bedeutet, dass bei vielen Würfen die Anzahl der geworfenen Sechsen im Durchschnitt etwa ein Sechstel der Gesamtwürfe betragen sollte.