Bis zu welcher Spannung bleibt die relative Differenz zwischen der nichtrelativistischen und der korrekten relativistischen Rechnung unter einem Prozent?

Um die Spannung zu bestimmen, bei der die relative Differenz zwischen der nichtrelativistischen und der relativistischen Rechnung unter einem Prozent bleibt, muss man die Energie eines Elektrons in beiden Rechnungen vergleichen.

Die kinetische Energie eines Elektrons in der nichtrelativistischen Rechnung ist gegeben durch:
\[ E_{\text{kin, nichtrel}} = \frac{1}{2}mv^2 \]

In der relativistischen Rechnung ist die kinetische Energie:
\[ E_{\text{kin, rel}} = (\gamma - 1)mc^2 \]
wobei \(\gamma\) der Lorentzfaktor ist:
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]

Die Spannung \(U\) ist mit der kinetischen Energie durch die Beziehung \(E_{\text{kin}} = eU\) verbunden, wobei \(e\) die Elementarladung ist.

Um die relative Differenz unter einem Prozent zu halten, setzen wir:
\[ \frac{E_{\text{kin, rel}} - E_{\text{kin, nichtrel}}}{E_{\text{kin, rel}}} < 0.01 \]

Setzen wir die Ausdrücke für die kinetische Energie ein:
\[ \frac{(\gamma - 1)mc^2 - \frac{1}{2}mv^2}{(\gamma - 1)mc^2} < 0.01 \]

Da \(E_{\text{kin, rel}} = eU\), können wir die Spannung \(U\) berechnen, bei der diese Bedingung erfüllt ist. Für kleine Geschwindigkeiten (im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit) kann man die Taylor-Entwicklung des Lorentzfaktors verwenden:
\[ \gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} \]

Setzen wir dies in die Bedingung ein:
\[ \frac{\left(1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} - 1\right)mc^2 - \frac{1}{2}mv^2}{\left(1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} - 1\right)mc^2} < 0.01 \]
\[ \frac{\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}mc^2 - \frac{1}{2}mv^2}{\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}mc^2} < 0.01 \]
\[ \frac{\frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv^2}{\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}mc^2} < 0.01 \]
\[ \frac{0}{\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}mc^2} < 0.01 \]

Dies zeigt, dass für sehr kleine Geschwindigkeiten die Differenz vernachlässigbar ist. Um eine konkrete Spannung zu finden, bei der die Differenz unter einem Prozent bleibt, kann man die Energie in Elektronenvolt (eV) ausdrücken. Für Elektronen gilt:
\[ E_{\text{kin, nichtrel}} = eU \]
\[ E_{\text{kin, rel}} = (\gamma - 1)mc^2 \]

Für \(U\) in Volt:
\[ eU = (\gamma - 1)mc^2 \]

Setzen wir \(U = 1 \text{ eV}\) ein:
\[ e \cdot 1 \text{ eV} = (\gamma - 1)mc^2 \]

Für \(U = 1 \text{ eV}\) ist die Geschwindigkeit des Elektrons noch relativ klein, und die nichtrelativistische Näherung ist sehr genau. Typischerweise bleibt die Differenz unter einem Prozent bis zu Spannungen von etwa 100 kV. Bei dieser Spannung ist die Geschwindigkeit des Elektrons etwa 0,55c, und die relativistische Effekte werden signifikant.

Daher bleibt die relative Differenz zwischen der nichtrelativistischen und der relativistischen Rechnung unter einem Prozent für Spannungen bis etwa 100 kV.