2 Fragen zu Relativistisch

GPS-Systeme müssen die Signale relativistisch korrigieren, weil die Satelliten, die die GPS-Signale senden, sich mit hohen Geschwindigkeiten relativ zur Erdoberfläche bewegen und sich in einer anderen Gravitationsumgebung befinden. Diese beiden Faktoren führen zu Effekten, die durch die spezielle und allgemeine Relativitätstheorie beschrieben werden: 1. **Spezielle Relativitätstheorie**: Aufgrund der hohen Geschwindigkeit der Satelliten (etwa 14.000 km/h) verlangsamt sich die Zeit an Bord der Satelliten im Vergleich zur Zeit auf der Erdoberfläche. Dieser Effekt wird als Zeitdilatation bezeichnet. 2. **Allgemeine Relativitätstheorie**: Die Satelliten befinden sich in einer höheren Umlaufbahn (etwa 20.200 km über der Erdoberfläche), wo die Gravitation schwächer ist als auf der Erdoberfläche. In einer schwächeren Gravitationsumgebung vergeht die Zeit schneller. Ohne diese relativistischen Korrekturen würden die Uhren an Bord der GPS-Satelliten täglich um etwa 38 Mikrosekunden schneller laufen als die Uhren auf der Erdoberfläche. Diese scheinbar kleine Abweichung würde jedoch zu erheblichen Positionsfehlern führen, die sich auf etwa 10 Kilometer pro Tag summieren könnten. **Probleme, die auftreten können:** - **Ungenaue Positionsbestimmung**: Ohne die Korrekturen würden die Positionsangaben des GPS-Systems schnell ungenau werden, was in vielen Anwendungen, wie z.B. in der Navigation, zu erheblichen Problemen führen könnte. - **Synchronisationsfehler**: GPS-Systeme basieren auf der präzisen Synchronisation der Satellitenuhren. Relativistische Effekte, die nicht korrekt berücksichtigt werden, könnten zu Synchronisationsfehlern führen, was die gesamte Funktionalität des Systems beeinträchtigen würde. - **Technische Herausforderungen**: Die Implementierung der relativistischen Korrekturen erfordert präzise Berechnungen und fortschrittliche Technologie, um die genauen Effekte der Relativitätstheorie in Echtzeit zu berücksichtigen. Durch die Berücksichtigung dieser relativistischen Effekte können GPS-Systeme jedoch eine hohe Genauigkeit und Zuverlässigkeit gewährleisten.

Um die Spannung zu bestimmen, bei der die relative Differenz zwischen der nichtrelativistischen und der relativistischen Rechnung unter einem Prozent bleibt, muss man die Energie eines Elektrons in beiden Rechnungen vergleichen. Die kinetische Energie eines Elektrons in der nichtrelativistischen Rechnung ist gegeben durch: \[ E_{\text{kin, nichtrel}} = \frac{1}{2}mv^2 \] In der relativistischen Rechnung ist die kinetische Energie: \[ E_{\text{kin, rel}} = (\gamma - 1)mc^2 \] wobei \(\gamma\) der Lorentzfaktor ist: \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \] Die Spannung \(U\) ist mit der kinetischen Energie durch die Beziehung \(E_{\text{kin}} = eU\) verbunden, wobei \(e\) die Elementarladung ist. Um die relative Differenz unter einem Prozent zu halten, setzen wir: \[ \frac{E_{\text{kin, rel}} - E_{\text{kin, nichtrel}}}{E_{\text{kin, rel}}} < 0.01 \] Setzen wir die Ausdrücke für die kinetische Energie ein: \[ \frac{(\gamma - 1)mc^2 - \frac{1}{2}mv^2}{(\gamma - 1)mc^2} < 0.01 \] Da \(E_{\text{kin, rel}} = eU\), können wir die Spannung \(U\) berechnen, bei der diese Bedingung erfüllt ist. Für kleine Geschwindigkeiten (im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit) kann man die Taylor-Entwicklung des Lorentzfaktors verwenden: \[ \gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} \] Setzen wir dies in die Bedingung ein: \[ \frac{\left(1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} - 1\right)mc^2 - \frac{1}{2}mv^2}{\left(1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} - 1\right)mc^2} < 0.01 \] \[ \frac{\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}mc^2 - \frac{1}{2}mv^2}{\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}mc^2} < 0.01 \] \[ \frac{\frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv^2}{\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}mc^2} < 0.01 \] \[ \frac{0}{\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}mc^2} < 0.01 \] Dies zeigt, dass für sehr kleine Geschwindigkeiten die Differenz vernachlässigbar ist. Um eine konkrete Spannung zu finden, bei der die Differenz unter einem Prozent bleibt, kann man die Energie in Elektronenvolt (eV) ausdrücken. Für Elektronen gilt: \[ E_{\text{kin, nichtrel}} = eU \] \[ E_{\text{kin, rel}} = (\gamma - 1)mc^2 \] Für \(U\) in Volt: \[ eU = (\gamma - 1)mc^2 \] Setzen wir \(U = 1 \text{ eV}\) ein: \[ e \cdot 1 \text{ eV} = (\gamma - 1)mc^2 \] Für \(U = 1 \text{ eV}\) ist die Geschwindigkeit des Elektrons noch relativ klein, und die nichtrelativistische Näherung ist sehr genau. Typischerweise bleibt die Differenz unter einem Prozent bis zu Spannungen von etwa 100 kV. Bei dieser Spannung ist die Geschwindigkeit des Elektrons etwa 0,55c, und die relativistische Effekte werden signifikant. Daher bleibt die relative Differenz zwischen der nichtrelativistischen und der relativistischen Rechnung unter einem Prozent für Spannungen bis etwa 100 kV.