Herleitung der Formel der Zentripitalbeschleunigung.

Die Zentripitalbeschleunigung beschreibt die Beschleunigung eines Körpers, der sich auf einer kreisförmigen Bahn bewegt. Sie ist notwendig, um die Änderung der Richtung des Geschwindigkeitsvektors aufrechtzuerhalten, da die Geschwindigkeit konstant bleibt, aber die Richtung sich ändert.

1. **Definition der Zentripitalbeschleunigung**: Die Zentripitalbeschleunigung \( a_z \) ist definiert als die Beschleunigung, die erforderlich ist, um einen Körper auf einer Kreisbahn mit konstantem Radius \( r \) und konstanter Geschwindigkeit \( v \) zu halten.

2. **Bewegung auf einer Kreisbahn**: Wenn ein Körper sich mit einer konstanten Geschwindigkeit \( v \) auf einer Kreisbahn mit dem Radius \( r \) bewegt, beschreibt er in einer Zeit \( t \) einen Winkel \( \theta \). Der Zusammenhang zwischen der zurückgelegten Strecke \( s \) und dem Radius ist:
\[
s = r \cdot \theta
\]

3. **Winkelgeschwindigkeit**: Die Winkelgeschwindigkeit \( \omega \) ist definiert als der Winkel pro Zeiteinheit:
\[
\omega = \frac{\theta}{t}
\]
Die lineare Geschwindigkeit \( v \) kann auch durch die Beziehung zur Winkelgeschwindigkeit ausgedrückt werden:
\[
v = r \cdot \omega
\]

4. **Zentripitalbeschleunigung**: Die Zentripitalbeschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit in radialer Richtung. Da die Geschwindigkeit konstant bleibt, ändert sich nur die Richtung. Die Zentripitalbeschleunigung kann aus der Beziehung zwischen der Geschwindigkeit und dem Radius abgeleitet werden:
\[
a_z = \frac{v^2}{r}
\]

Zusammenfassend ergibt sich die Formel für die Zentripitalbeschleunigung:
\[
a_z = \frac{v^2}{r}
\]
Diese Formel zeigt, dass die Zentripitalbeschleunigung direkt proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit und umgekehrt proportional zum Radius der Kreisbahn ist.