Wie zeige ich, dass 1² - 2² + 3² - 4² + ... + (-1)^(n-1)n² = (-1)^(n-1) * (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n) gilt?

Um zu zeigen, dass die Gleichung

\[
1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (-1)^{n-1} n^2 = (-1)^{n-1} \left( 1 + + 3 +ldots + nright)
\]

ilt, können wir die linke Seite der Gleichung umformen und die rechte Seite analysieren.

1. **Linke Seite umformen**: Wir betrachten die Summe in zwei Teile, je nachdem, ob \( n \) gerade oder ungerade ist.

- Für ungerade \( n = 2k + 1 \):
\[
S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (2k+1)^2
\]
Dies kann umgeschrieben werden als:
\[
S = (1^2 + 3^2 + \ldots + (2k+1)^2) - (2^2 + 4^2 + \ldots + (2k)^2)
\]

- Für gerade \( n = 2k \):
\[
S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots - (2k)^2
\]
Dies wird ähnlich umgeformt.

2. **Rechte Seite analysieren**: Die Summe \( 1 + 2 + 3 + \ldots + n \) ist bekanntlich \( \frac{n(n+1)}{2} \). Daher wird die rechte Seite zu:
\[
(-1)^{n-1} \cdot \frac{n(n+1)}{2}
\]

3. **Induktionsbeweis**: Um die Gleichheit zu beweisen, kann ein Induktionsbeweis verwendet werden.

- **Induktionsanfang**: Für \( n = 1 \):
\[
1^2 = (-1)^{1-1} \cdot 1 = 1
\]
Dies stimmt.

- **Induktionsannahme**: Angenommen, die Gleichung gilt für \( n = k \):
\[
1^2 - 2^2 + \ldots + (-1)^{k-1} k^2 = (-1)^{k-1} \cdot \frac{k(k+1)}{2}
\]

- **Induktionsschritt**: Zeige, dass die Gleichung auch für \( n = k + 1 \) gilt:
\[
S_{k+1} = S_k + (-1)^{k} (k+1)^2
\]
Setze die Induktionsannahme ein und vereinfache:
\[
S_{k+1} = (-1)^{k-1} \cdot \frac{k(k+1)}{2} + (-1)^{k} (k+1)^2
\]
Dies führt zu:
\[
S_{k+1} = (-1)^{k-1} \left( \frac{k(k+1)}{2} - (k+1)^2 \right)
\]
Vereinfachen und umformen zeigt, dass dies der Form der rechten Seite für \( n = k + 1 \) entspricht.

Durch diesen Induktionsbeweis kann die Gleichheit für alle natürlichen Zahlen \( n \) gezeigt werden.