\(2 \cdot 8^{(2x+2)} = \sqrt{32}\) Umformen: \(8 = 2^3\) \(\sqrt{32} = \sqrt{2^5} = 2^{5/2}\) Dann: \(2 \cdot (2^3)^{(2x+2)} = 2^{5/2}\) \(2 \cdot 2^{6x+6} = 2^{5/2}\) \(2^{1+6x+6} = 2^{5/2}\)...
Berechne x: Wurzel(2x + 1) = x - 17.
Antwort vomUm die Gleichung \(\sqrt{2x + 1} = x - 17\) zu lösen, gehe wie folgt vor: 1. Quadriere beide Seiten der Gleichung, um die Wurzel zu eliminieren: \[ (\sqrt{2x + 1})^2 = (x - 17)^2 \] Das ergibt: \[ 2x + 1 = (x - 17)(x - 17) \] \[ 2x + 1 = x^2 - 34x + 289 \] 2. Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung: \[ 0 = x^2 - 34x + 289 - 2x - 1 \] \[ 0 = x^2 - 36x + 288 \] 3. Jetzt kannst du die quadratische Gleichung \(x^2 - 36x + 288 = 0\) mit der Mitternachtsformel lösen: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \(a = 1\), \(b = -36\) und \(c = 288\). 4. Berechne die Diskriminante: \[ b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 288 = 1296 - 1152 = 144 \] 5. Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein: \[ x = \frac{36 \pm \sqrt{144}}{2} \] \[ x = \frac{36 \pm 12}{2} \] 6. Berechne die beiden Lösungen: \[ x_1 = \frac{36 + 12}{2} = \frac{48}{2} = 24 \] \[ x_2 = \frac{36 - 12}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] 7. Überprüfe die Lösungen in der ursprünglichen Gleichung: - Für \(x = 24\): \[ \sqrt{2(24) + 1} = \sqrt{49} = 7 \quad \text{und} \quad 24 - 17 = 7 \quad \text{(gültig)} \] - Für \(x = 12\): \[ \sqrt{2(12) + 1} = \sqrt{25} = 5 \quad \text{und} \quad 12 - 17 = -5 \quad \text{(nicht gültig)} \] Die einzige gültige Lösung ist \(x = 24\).
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