Wieviele Boolesche Funktionen f : Bn → B existieren?

Question

Wieviele Boolesche Funktionen f : Bn → B existieren?

Antwort

Verwandte Fragen

Berechne für a=2 (3a^3+4a^2)*(-2a-a^5).

Warum wächst e^x schneller als x^n?

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Die Anzahl der Booleschen Funktionen \( f : B^n \to B \) beträgt \( 2^{2^n} \). Hierbei ist \( B^n \) die Menge aller n-Tupel von Wahrheitswerten (0 und 1), also die Menge der möglichen Eingaben für die Funktion. Da es \( 2^n \) mögliche Eingaben gibt (jede Eingabe kann entweder 0 oder 1 sein), gibt es für jede dieser Eingaben zwei mögliche Ausgaben (0 oder 1). Daher ergibt sich die Gesamtanzahl der Booleschen Funktionen aus der Anzahl der möglichen Ausgaben für jede Eingabe, was zu \( 2^{2^n} \) führt.

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Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(... [mehr]

Accepted Answer

Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(4) = 24 16 = 40 \] 2. Berechne dann \( -2a - a^5 \): \[ -2(2) - (2^5) = -4 - 32 = -36 \] 3. Setze die Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck ein: \[ (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) = 40 \cdot (-36) = -1440 \] Die Probe für \( a = 2 \) ergibt also \( -1440 \).

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Die Funktion \( e^x \) wächst schneller als jede Polynomfunktion \( x^n \) (wobei \( n \) eine positive ganze Zahl ist), die Exponentialfunktion eineante Wachstumsrate hat, die unabhängig vo... [mehr]

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Die Funktion \( e^x \) wächst schneller als jede Polynomfunktion \( x^n \) (wobei \( n \) eine positive ganze Zahl ist), die Exponentialfunktion eineante Wachstumsrate hat, die unabhängig von \( x \) ist Mathematisch lässt sich dies durch den Vergleich der Ableitungen zeigen. Die Ableitung von \( e^x \) ist \( e^x \), während die Ableitung von \( x^n \) \( n \cdot x^{n-1} \) ist. Für große Werte von \( x \) wird \( e^x \) also immer größer als \( x^n \), da die Wachstumsrate von \( e^x \) exponentiell ist, während die Wachstumsrate von \( x^n \) polynomial bleibt. Ein weiterer Weg, dies zu zeigen, ist der L'Hôpital'sche Regel, die besagt, dass der Grenzwert des Verhältnisses zweier Funktionen, wenn beide gegen unendlich gehen, durch die Ableitungen dieser Funktionen bestimmt werden kann. Wenn man den Grenzwert von \( \frac{x^n}{e^x} \) für \( x \to \infty \) betrachtet, erhält man: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \] Das bedeutet, dass \( e^x \) viel schneller wächst als \( x^n \), wenn \( x \) sehr groß wird.