Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die als Bruch dargestellt werden können, wobei Zähler und Nenner ganze Zahlen sind und der Nenner nicht null ist. Das bedeutet, jede Zahl der Form \( \frac...
Warum können rationale Zahlen in der Konvergenz nicht abgeschlossen sein?
Antwort vomDie Menge der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) ist in der Standardtopologie der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) nicht abgeschlossen, weil es in \(\mathbb{R}\) irrationale Zahlen gibt, die Grenzwerte von Folgen rationaler Zahlen sein können. Ein Beispiel ist die Folge \(a_n = \frac{1}{n}\), die gegen 0 konvergiert. Der Grenzwert 0 ist eine reelle Zahl, die in \(\mathbb{Q}\) enthalten ist, aber wenn wir eine Folge von rationalen Zahlen betrachten, die gegen eine irrationale Zahl wie \(\sqrt{2}\) konvergiert, wird der Grenzwert nicht in \(\mathbb{Q}\) liegen. Da es also Grenzwerte gibt, die nicht in der Menge der rationalen Zahlen enthalten sind, ist \(\mathbb{Q}\) nicht abgeschlossen in \(\mathbb{R}\). Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre Grenzwerte enthält.
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