Warum können rationale Zahlen in der Konvergenz nicht abgeschlossen sein?

Die Menge der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) ist in der Standardtopologie der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) nicht abgeschlossen, weil es in \(\mathbb{R}\) irrationale Zahlen gibt, die Grenzwerte von Folgen rationaler Zahlen sein können.

Ein Beispiel ist die Folge \(a_n = \frac{1}{n}\), die gegen 0 konvergiert. Der Grenzwert 0 ist eine reelle Zahl, die in \(\mathbb{Q}\) enthalten ist, aber wenn wir eine Folge von rationalen Zahlen betrachten, die gegen eine irrationale Zahl wie \(\sqrt{2}\) konvergiert, wird der Grenzwert nicht in \(\mathbb{Q}\) liegen.

Da es also Grenzwerte gibt, die nicht in der Menge der rationalen Zahlen enthalten sind, ist \(\mathbb{Q}\) nicht abgeschlossen in \(\mathbb{R}\). Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre Grenzwerte enthält.