Wie groß ist der Kosinus eines Winkels?

Question

Wie groß ist der Kosinus eines Winkels?

Antwort

Verwandte Fragen

Wie berechnet man den Schnittwinkel zwischen der Ebene 2x1 + x2 = 4 und der x1-x3-Ebene?

-cos(x) abgeleitet?

Wie viele Lösungswege gibt es, um ein Dreieck mit einem Katheter und einem Winkel zu lösen?

In welchem Quadranten liegt Winkel alpha, wenn sin(alpha) > 0 und cos(alpha) < 0?

Accepted Answer

Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der anliegenden Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zur Länge der Hypotenuse. Der Kosinus wird häufig in der Trigonometrie verwendet und ist für jeden Winkel definiert. Die Werte des Kosinus liegen zwischen -1 und 1. Für spezielle Winkel gibt es bekannte Werte, zum Beispiel: - cos(0°) = 1 - cos(30°) = √3/2 - cos(45°) = √2/2 - cos(60°) = 1/2 - cos(90°) = 0 Für andere Winkel kann der Kosinuswert mit einem Taschenrechner oder einer trigonometrischen Tabelle ermittelt werden.

Accepted Answer

Um den Winkel zwischen der Ebene \( F: 2x_1 + x_2 = 4 \) und der \( x_1x_3 \)-Ebene zu berechnen, gehst du wie folgt vor: **1. Bestimme die Normalenvektoren:** - Die Ebene \( F \) hat die Gleichung... [mehr]

Accepted Answer

Um den Winkel zwischen der Ebene \( F: 2x_1 + x_2 = 4 \) und der \( x_1x_3 \)-Ebene zu berechnen, gehst du wie folgt vor: **1. Bestimme die Normalenvektoren:** - Die Ebene \( F \) hat die Gleichung \( 2x_1 + x_2 = 4 \). Der Normalenvektor ist also \( \vec{n}_F = (2, 1, 0) \). - Die \( x_1x_3 \)-Ebene ist die Ebene mit \( x_2 = 0 \). Ihr Normalenvektor ist \( \vec{n}_{x_1x_3} = (0, 1, 0) \). **2. Berechne den Winkel zwischen den Normalenvektoren:** Der Kosinus des Winkels \( \alpha \) zwischen den Normalenvektoren ist: \[ \cos\alpha = \frac{\vec{n}_F \cdot \vec{n}_{x_1x_3}}{|\vec{n}_F| \cdot |\vec{n}_{x_1x_3}|} \] Berechne das Skalarprodukt: \[ \vec{n}_F \cdot \vec{n}_{x_1x_3} = (2, 1, 0) \cdot (0, 1, 0) = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 \] Beträge: \[ |\vec{n}_F| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5} \] \[ |\vec{n}_{x_1x_3}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1 \] Setze ein: \[ \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} \] \[ \alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \approx 63,43^\circ \] **3. Gesuchter Schnittwinkel:** Der Schnittwinkel zwischen den Ebenen ist der Komplementärwinkel zu \( \alpha \), also: \[ \beta = 90^\circ - \alpha \approx 26,57^\circ \] **Antwort:** Die Ebene \( F \) schneidet die \( x_1x_3 \)-Ebene unter einem Winkel von etwa **26,57°**.

Accepted Answer

Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\c... [mehr]

Accepted Answer

Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -(-\sin(x)) = \sin(x) \]

Accepted Answer

Um ein Dreieck zu lösen, also alle Seiten und Winkel zu bestimmen, benötigt man in der Regel mindestens drei Angaben, wobei mindestens eine davon eine Seite sein muss. Deine Frage bezieht si... [mehr]

Accepted Answer

Um ein Dreieck zu lösen, also alle Seiten und Winkel zu bestimmen, benötigt man in der Regel mindestens drei Angaben, wobei mindestens eine davon eine Seite sein muss. Deine Frage bezieht sich auf die Situation, in der **ein Katheter (eine Seite, meist bei rechtwinkligen Dreiecken als "Kathete" bezeichnet) und ein Winkel** gegeben sind. Hier die möglichen Lösungswege: 1. **Rechtwinkliges Dreieck**: - Ist das Dreieck rechtwinklig und du kennst eine Kathete und einen weiteren Winkel (außer dem rechten Winkel), dann kannst du das Dreieck eindeutig lösen. - Mit einer Kathete und einem Winkel (außer dem rechten Winkel) kannst du die anderen Seiten und Winkel mit den **trigonometrischen Funktionen** (Sinus, Kosinus, Tangens) berechnen. 2. **Allgemeines Dreieck**: - Bei einem allgemeinen Dreieck (nicht rechtwinklig) und der Angabe einer Seite und eines Winkels gibt es **im Allgemeinen keine eindeutige Lösung**. - Es können je nach Lage des Winkels und der Seite **keine, eine oder zwei Lösungen** existieren (Stichwort: "Seiten-Winkel-Winkel"- oder "Seiten-Winkel-Seiten"-Fälle, siehe auch "ambiguous case" beim Sinussatz). **Fazit:** - Bei einem **rechtwinkligen Dreieck** gibt es mit einer Kathete und einem Winkel (außer dem rechten Winkel) **genau einen Lösungsweg**. - Bei einem **allgemeinen Dreieck** kann es **keinen, einen oder zwei Lösungswege** geben, abhängig von den gegebenen Werten (siehe Sinussatz, "ambiguous case"). **Weiterführende Links:** - [Sinussatz – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Sinussatz) - [Dreieck berechnen – Mathebibel.de](https://www.mathebibel.de/dreieck-berechnen) Wenn du einen konkreten Fall hast (z.B. welche Seite und welcher Winkel gegeben sind), kann die Antwort noch genauer ausfallen.

Accepted Answer

Wenn für einen Winkel \(\alpha\) gilt, dass \(\sin(\alpha) > 0\) und \(\cos(\alpha) < 0\), dann befindet sich \(\alpha\) im **zweiten Quadranten** des Einheitskreises. **Begründung:**... [mehr]

Accepted Answer

Wenn für einen Winkel \(\alpha\) gilt, dass \(\sin(\alpha) > 0\) und \(\cos(\alpha) < 0\), dann befindet sich \(\alpha\) im **zweiten Quadranten** des Einheitskreises. **Begründung:** - \(\sin(\alpha) > 0\): Der Sinus ist im 1. und 2. Quadranten positiv. - \(\cos(\alpha) < 0\): Der Kosinus ist im 2. und 3. Quadranten negativ. **Gemeinsame Lösung:** Nur im **zweiten Quadranten** (also für Winkel zwischen \(90^\circ\) und \(180^\circ\) bzw. \(\frac{\pi}{2}\) und \(\pi\)) sind beide Bedingungen erfüllt. **Zusammenfassung:** \[ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \quad \text{bzw.} \quad 90^\circ < \alpha < 180^\circ \]