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Wie berechne ich 0=x³-x²-10x-8?
Antwort vomUm die Gleichung \(0 = x^3 - x^2 - 10x - 8\) zu lösen, kannst du die folgenden Schritte befolgen: 1. **Finde mögliche rationale Wurzeln**: Du kannst die Rationalen Wurzelsatz verwenden, um mögliche Lösungen zu finden. Die möglichen rationalen Wurzeln sind die Teiler des konstanten Terms (-8) geteilt durch die Teiler des führenden Koeffizienten (1). Die möglichen rationalen Wurzeln sind also: \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8\). 2. **Setze die möglichen Wurzeln in die Gleichung ein**: Teste die möglichen Wurzeln, um zu sehen, ob sie die Gleichung erfüllen. Zum Beispiel: - Für \(x = -2\): \[ (-2)^3 - (-2)^2 - 10(-2) - 8 = -8 - 4 + 20 - 8 = 0 \] Das bedeutet, \(x = -2\) ist eine Wurzel. 3. **Faktorisierung**: Da \(x = -2\) eine Wurzel ist, kannst du die Gleichung durch \(x + 2\) teilen. Du kannst dazu Polynomdivision oder synthetische Division verwenden. Nach der Division erhältst du: \[ x^3 - x^2 - 10x - 8 = (x + 2)(x^2 - 3x - 4) \] 4. **Finde die Wurzeln des quadratischen Terms**: Jetzt musst du die quadratische Gleichung \(x^2 - 3x - 4 = 0\) lösen. Du kannst die Mitternachtsformel verwenden: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \(a = 1\), \(b = -3\) und \(c = -4\): \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \] Das ergibt die Lösungen: \[ x_1 = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{und} \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \] 5. **Zusammenfassung der Lösungen**: Die Lösungen der Gleichung \(0 = x^3 - x^2 - 10x - 8\) sind: \[ x = -2, \quad x = 4, \quad x = -1 \]
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