Was sind die wichtigsten Formeln und Themen, die ich zu Differentialgleichungen wissen muss?

Differentialgleichungen sind ein zentrales Thema in der Mathematik und haben viele Anwendungen in den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Hier sind einige der wichtigsten Formeln und Konzepte, die du kennen solltest:

1. **Erste Ordnung Differentialgleichungen:**
- **Trennung der Variablen:** \(\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)\)
\[
\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx
\]
- **Lineare Differentialgleichungen:** \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\)
\[
y(x) = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x)^{int P(x) \, dx} \, dx + C \right)
\]

2. **Zweite Ordnung Differentialgleichungen:**
- **Homogene lineare Differentialgleichungen:** \(a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = 0\)
- Charakteristische Gleichung: \(ar^2 + br + c = 0\)
- Lösungen hängen von den Wurzeln der charakteristischen Gleichung ab (reelle und unterschiedliche, reelle und gleiche, komplexe Wurzeln).

- **Inhomogene lineare Differentialgleichungen:** \(a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = f(x)\)
- Allgemeine Lösung: \(y(x) = y_h(x) + y_p(x)\), wobei \(y_h(x)\) die Lösung der homogenen Gleichung und \(y_p(x)\) eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung ist.

3. **Laplace-Transformation:**
- Umwandlung von Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen.
\[
\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt
\]

4. **Fourier-Transformation:**
- Analyse von Funktionen in Bezug auf Sinus- und Kosinusfunktionen.
\[
\mathcal{F}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t} \, dt
\]

5. **Partielle Differentialgleichungen (PDEs):**
- **Wellen-Gleichung:** \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u\)
- **Wärmeleitungsgleichung:** \(\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u\)
- **Laplace-Gleichung:** \(\nabla^2 u = 0\)

Diese Formeln und Konzepte bilden die Grundlage für das Verständnis und die Lösung von Differentialgleichungen. Es ist auch wichtig, die Methoden zur Lösung dieser Gleichungen zu beherrschen, wie z.B. die Methode der Trennung der Variablen, die Methode der unbestimmten Koeffizienten und die Variation der Konstanten.