Gegeben \(f(x)=(x-1)^2\). Ableiten (Kettenregel): \[ f'(x)=2(x-1)\cdot 1=2(x-1)=2x-2. \]
Bestimme die Wertemenge von f(x)=x^2+1.
Antwort vomUm die Wertemenge der Funktion \( f(x) = x^2 + 1 \) zu bestimmen, analysieren wir die Funktion. 1. **Funktionsform**: Die Funktion ist eine Parabel, die nach oben geöffnet ist, da der Koeffizient von \( x^2 \) positiv ist. 2. **Minimum**: Der tiefste Punkt der Parabel (das Minimum) tritt auf, wenn \( x = 0 \) ist. Dort ergibt sich: \[ f(0) = 0^2 + 1 = 1 \] 3. **Verhalten für große Werte von \( x \)**: Wenn \( x \) gegen unendlich oder minus unendlich geht, wird \( f(x) \) ebenfalls unendlich: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \quad \text{und} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty \] 4. **Wertemenge**: Da die Funktion bei \( x = 0 \) den Wert 1 annimmt und für alle anderen \( x \) Werte größer als 1 annimmt, ist die Wertemenge: \[ [1, \infty) \] Zusammenfassend ist die Wertemenge der Funktion \( f(x) = x^2 + 1 \) gleich \( [1, \infty) \).
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