Was sagen die Hermite-Polynome aus?

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Was sagen die Hermite-Polynome aus?

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Verwandte Fragen

Wie wird die allgemeine Taylorreihe hergeleitet?

Accepted Answer

Die Hermite-Polynome sind eine Familie von orthogonalen Polynomen, die in der Mathematik und Physik eine wichtige Rolle spielen. Sie sind besonders bekannt in der Wahrscheinlichkeitstheorie, der numerischen Mathematik und der Quantenmechanik. Die Hermite-Polynome \( H_n(x) \) sind definiert durch die rekursive Beziehung: \[ H_0(x) = 1, \quad H_1(x) = 2x, \quad H_n(x) = 2x H_{n-1}(x) - 2(n-1) H_{n-2}(x) \quad \text{für } n \geq 2. \] Einige wichtige Eigenschaften der Hermite-Polynome sind: 1. **Orthogonalität**: Sie sind orthogonal bezüglich des Gewichts \( e^{-x^2} \) auf dem Intervall \((-∞, ∞)\). Das bedeutet, dass das Integral der Produkte zweier verschiedener Hermite-Polynome über dieses Intervall null ist. 2. **Anwendungen in der Quantenmechanik**: In der Quantenmechanik erscheinen die Hermite-Polynome in der Lösung des harmonischen Oszillators. Die Wellenfunktionen der Energiezustände sind in der Form von Hermite-Polynomen. 3. **Approximation**: Sie werden auch in der numerischen Analyse verwendet, insbesondere in der Approximation von Funktionen und in der Lösung von Differentialgleichungen. 4. **Stochastische Prozesse**: In der Wahrscheinlichkeitstheorie sind sie nützlich zur Beschreibung von Normalverteilungen und in der Theorie der stochastischen Prozesse. Insgesamt sind die Hermite-Polynome ein fundamentales Werkzeug in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.

Accepted Answer

Die Herleitung der allgemeinen Taylorreihe basiert auf der Annahme, dass eine Funktion \( f(x) \) in der Umgebung eines Punktes \( x_0 \) beliebig oft differenzierbar ist. Ziel ist es, \( f(x) \) durc... [mehr]

Accepted Answer

Die Herleitung der allgemeinen Taylorreihe basiert auf der Annahme, dass eine Funktion \( f(x) \) in der Umgebung eines Punktes \( x_0 \) beliebig oft differenzierbar ist. Ziel ist es, \( f(x) \) durch eine Potenzreihe um \( x_0 \) darzustellen. **Schrittweise Herleitung:** 1. **Ansatz der Potenzreihe:** \[ f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + a_3(x-x_0)^3 + \ldots \] oder allgemein: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \] 2. **Bestimmung der Koeffizienten \( a_n \):** - Setze \( x = x_0 \): \[ f(x_0) = a_0 \] - Leite die Reihe einmal ab und setze \( x = x_0 \): \[ f'(x) = a_1 + 2a_2(x-x_0) + 3a_3(x-x_0)^2 + \ldots \] \[ f'(x_0) = a_1 \] - Leite die Reihe \( n \)-mal ab und setze \( x = x_0 \): \[ f^{(n)}(x) = n! a_n + \text{Terme mit } (x-x_0) \] \[ f^{(n)}(x_0) = n! a_n \] \[ \Rightarrow a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \] 3. **Einsetzen der Koeffizienten:** \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n \] **Ergebnis:** Die allgemeine Taylorreihe einer Funktion \( f(x) \) um den Entwicklungspunkt \( x_0 \) lautet: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n \] **Voraussetzung:** Die Funktion muss in einer Umgebung von \( x_0 \) beliebig oft differenzierbar sein, und die Reihe muss konvergieren. Weitere Informationen findest du z.B. bei [Wikipedia: Taylorreihe](https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe).