Wie wird die allgemeine Taylorreihe hergeleitet?

Die Herleitung der allgemeinen Taylorreihe basiert auf der Annahme, dass eine Funktion \( f(x) \) in der Umgebung eines Punktes \( x_0 \) beliebig oft differenzierbar ist. Ziel ist es, \( f(x) \) durch eine Potenzreihe um \( x_0 \) darzustellen.

**Schrittweise Herleitung:**

1. **Ansatz der Potenzreihe:**
\[
f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + a_3(x-x_0)^3 + \ldots
\]
oder allgemein:
\[
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n
\]

2. **Bestimmung der Koeffizienten \( a_n \):**
- Setze \( x = x_0 \):
\[
f(x_0) = a_0
\]
- Leite die Reihe einmal ab und setze \( x = x_0 \):
\[
f'(x) = a_1 + 2a_2(x-x_0) + 3a_3(x-x_0)^2 + \ldots
\]
\[
f'(x_0) = a_1
\]
- Leite die Reihe \( n \)-mal ab und setze \( x = x_0 \):
\[
f^{(n)}(x) = n! a_n + \text{Terme mit } (x-x_0)
\]
\[
f^{(n)}(x_0) = n! a_n
\]
\[
\Rightarrow a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}
\]

3. **Einsetzen der Koeffizienten:**
\[
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n
\]

**Ergebnis:**
Die allgemeine Taylorreihe einer Funktion \( f(x) \) um den Entwicklungspunkt \( x_0 \) lautet:
\[
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n
\]

**Voraussetzung:**
Die Funktion muss in einer Umgebung von \( x_0 \) beliebig oft differenzierbar sein, und die Reihe muss konvergieren.

Weitere Informationen findest du z.B. bei [Wikipedia: Taylorreihe](https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe).