2 Fragen zu Taylorreihe

Die Taylorreihe einer Funktion \( f(x) \) um den Punkt \( x_0 = 3 \) ist gegeben durch: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(3)}{n!} (x - 3)^n \] Für die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x \) berechnen wir die Ableitungen und setzen sie in die Taylorreihe ein. 1. \( f(x) = \frac{1}{x} \) 2. \( f'(x) = -\frac{1}{x^2} \) 3. \( f''(x) = \frac{2}{x^3} \) 4. \( f'''(x) = -frac{6}{x^4} \) 5. Allgemein: \( f^{(n)}(x) = (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}} \) Nun setzen wir \( x_0 = 3 \) ein: 1. \( f(3) = \frac{1}{3} \) 2. \( f'(3) = -\frac{1}{9} \) 3. \( f''(3) = \frac{2}{27} \) 4. \( f'''(3) = -\frac{6}{81} = -\frac{2}{27} \) 5. Allgemein: \( f^{(n)}(3) = (-1)^n \frac{n!}{3^{n+1}} \) Die Taylorreihe lautet dann: \[ \frac{1}{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \frac{n!}{3^{n+1}}}{n!} (x - 3)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^{n+1}} (x - 3)^n \] Das ist die Taylorreihe von \( \frac{1}{x} \) um den Punkt \( x_0 = 3 \).

Die Herleitung der allgemeinen Taylorreihe basiert auf der Annahme, dass eine Funktion \( f(x) \) in der Umgebung eines Punktes \( x_0 \) beliebig oft differenzierbar ist. Ziel ist es, \( f(x) \) durch eine Potenzreihe um \( x_0 \) darzustellen. **Schrittweise Herleitung:** 1. **Ansatz der Potenzreihe:** \[ f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + a_3(x-x_0)^3 + \ldots \] oder allgemein: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \] 2. **Bestimmung der Koeffizienten \( a_n \):** - Setze \( x = x_0 \): \[ f(x_0) = a_0 \] - Leite die Reihe einmal ab und setze \( x = x_0 \): \[ f'(x) = a_1 + 2a_2(x-x_0) + 3a_3(x-x_0)^2 + \ldots \] \[ f'(x_0) = a_1 \] - Leite die Reihe \( n \)-mal ab und setze \( x = x_0 \): \[ f^{(n)}(x) = n! a_n + \text{Terme mit } (x-x_0) \] \[ f^{(n)}(x_0) = n! a_n \] \[ \Rightarrow a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \] 3. **Einsetzen der Koeffizienten:** \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n \] **Ergebnis:** Die allgemeine Taylorreihe einer Funktion \( f(x) \) um den Entwicklungspunkt \( x_0 \) lautet: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n \] **Voraussetzung:** Die Funktion muss in einer Umgebung von \( x_0 \) beliebig oft differenzierbar sein, und die Reihe muss konvergieren. Weitere Informationen findest du z.B. bei [Wikipedia: Taylorreihe](https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe).