Wie lautet die Taylorreihe von 1/x um x0 = 3?

Die Taylorreihe einer Funktion \( f(x) \) um den Punkt \( x_0 = 3 \) ist gegeben durch:

\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(3)}{n!} (x - 3)^n \]

Für die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x \) berechnen wir die Ableitungen und setzen sie in die Taylorreihe ein.

1. \( f(x) = \frac{1}{x} \)
2. \( f'(x) = -\frac{1}{x^2} \)
3. \( f''(x) = \frac{2}{x^3} \)
4. \( f'''(x) = -frac{6}{x^4} \)
5. Allgemein: \( f^{(n)}(x) = (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}} \)

Nun setzen wir \( x_0 = 3 \) ein:

1. \( f(3) = \frac{1}{3} \)
2. \( f'(3) = -\frac{1}{9} \)
3. \( f''(3) = \frac{2}{27} \)
4. \( f'''(3) = -\frac{6}{81} = -\frac{2}{27} \)
5. Allgemein: \( f^{(n)}(3) = (-1)^n \frac{n!}{3^{n+1}} \)

Die Taylorreihe lautet dann:

\[ \frac{1}{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \frac{n!}{3^{n+1}}}{n!} (x - 3)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^{n+1}} (x - 3)^n \]

Das ist die Taylorreihe von \( \frac{1}{x} \) um den Punkt \( x_0 = 3 \).