Was ist mit f(x) = x² - √2x + 5?

Die Funktion \( f(x) = x^2 - \sqrt{2}x + 5 \) ist eine quadratische Funktion. Um mehr über diese Funktion zu erfahren, können wir verschiedene Aspekte betrachten: 1. **Form**: Die Funktion hat die allgemeine Form einer quadratischen Funktion \( f(x) = ax^2 + bx + c \), wobei \( a = 1 \), \( b = -\sqrt{2} \) und \( c = 5 \). 2. **Scheitelpunkt**: Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion kann mit der Formel \( x_s = -\frac{b}{2a} \) berechnet werden. In diesem Fall ist: \[ x_s = -\frac{-\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Um den y-Wert des Scheitelpunkts zu finden, setzt man \( x_s \) in die Funktion ein: \[ f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 5 \] Dies vereinfacht sich zu: \[ f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{2}{4} - 1 + 5 = \frac{1}{2} - 1 + 5 = \frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2} \] Der Scheitelpunkt ist also \( \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{9}{2}\right) \). 3. **Nullstellen**: Um die Nullstellen zu finden, setzt man \( f(x) = 0 \) und löst die Gleichung: \[ x^2 - \sqrt{2}x + 5 = 0 \] Die Diskriminante \( D \) ist gegeben durch \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = (-\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 2 - 20 = -18 \] Da die Diskriminante negativ ist, hat die Funktion keine reellen Nullstellen. 4. **Verhalten**: Da der Koeffizient von \( x^2 \) positiv ist, öffnet die Parabel nach oben. Der Funktionswert hat ein Minimum am Scheitelpunkt und steigt dann für \( x \) größer oder kleiner als \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). Zusammenfassend handelt es sich um eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Minimum bei \( \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{9}{2}\right) \) und ohne reelle Nullstellen.