Was ist ein Bayesianischer Formalismus?

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Was ist ein Bayesianischer Formalismus?

Antwort

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten die 8 Kreuz-Karten gezogen werden?

Accepted Answer

Der bayesische Formalismus ist ein statistisches Konzept, das auf dem Bayesschen Theorem basiert. Es ermöglicht die Aktualisierung von Wahrscheinlichkeiten für Hypothesen, wenn neue Daten oder Informationen verfügbar werden. Der Kern des bayesischen Formalismus besteht darin, dass er die subjektive Wahrscheinlichkeit in den Mittelpunkt stellt und es ermöglicht, Vorwissen (Prior) mit neuen Beweisen (Likelihood) zu kombinieren, um eine aktualisierte Wahrscheinlichkeit (Posterior) zu berechnen. Mathematisch wird das Bayessche Theorem wie folgt ausgedrückt: \[ P(H|E) = \frac{P(E|H) \cdot P(H)}{P(E)} \] Hierbei ist: - \( P(H|E) \): die posteriori Wahrscheinlichkeit der Hypothese \( H \) gegeben die Evidenz \( E \). - \( P(E|H) \): die Likelihood, also die Wahrscheinlichkeit, die Evidenz \( E \) zu beobachten, wenn \( H \) wahr ist. - \( P(H) \): die prior Wahrscheinlichkeit der Hypothese \( H \). - \( P(E) \): die totale Wahrscheinlichkeit der Evidenz \( E \). Der bayesische Formalismus findet Anwendung in vielen Bereichen, darunter Statistik, maschinelles Lernen, medizinische Diagnostik und Entscheidungsfindung, da er eine flexible und intuitive Methode zur Handhabung von Unsicherheiten bietet.

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkei... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 8 Karten aus 32 zu ziehen, wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{32}{8}\) dargestellt. Die Anzahl der Möglichkeiten, genau die 8 Kreuz-Karten zu ziehen, ist 1, da es nur eine Möglichkeit gibt, diese spezifischen Karten zu wählen. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist also: \[ P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} = \frac{1}{\binom{32}{8}} \] Nun berechnen wir \(\binom{32}{8}\): \[ \binom{32}{8} = \frac{32!}{8!(32-8)!} = \frac{32!}{8! \cdot 24!} \] Das ergibt: \[ \binom{32}{8} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 105,622,176 \] Somit ist die Wahrscheinlichkeit: \[ P = \frac{1}{105,622,176} \approx 9.47 \times 10^{-9} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass die 8 gezogenen Karten die 8 Kreuz-Karten sind, beträgt also etwa \(9.47 \times 10^{-9}\) oder 0.00000000947.