Was ist die konjugiert komplexe Zahl?

Die konjugiert komplexe Zahl einer komplexen Zahl \( z = a + bi \) (wobei \( a \) der Realteil und \( b \) der Imaginärteil ist) wird durch das Vorzeichenwechsel des Imaginärteils gebildet. Sie wird als \( \overline{z} \) dargestellt und ist definiert als \( \overline{z} = a - bi \).

Die konjugiert komplexe Zahl hat einige wichtige Eigenschaften, insbesondere in der Mathematik und Ingenieurwissenschaften, wie zum Beispiel:

1. Der Betrag einer komplexen Zahl \( z \) ist gleich der Quadratwurzel aus dem Produkt von \( z \) und seiner konjugiert komplexen Zahl: \( |z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}} \).
2. Die Summe einer komplexen Zahl und ihrer konjugiert komplexen Zahl ergibt eine reelle Zahl: \( z + \overline{z} = 2a \).
3. Das Produkt einer komplexen Zahl und ihrer konjugiert komplexen Zahl ergibt eine nicht-negative reelle Zahl: \( z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 \).

Diese Konzepte sind besonders nützlich in der Analysis und der Signalverarbeitung.