Warum wächst e^x schneller als x^n?

Question

Warum wächst e^x schneller als x^n?

Antwort

Verwandte Fragen

Wie kann man mit l'Hospital begründen, dass e^x schneller wächst als x^n?

Berechne für a=2 (3a^3+4a^2)*(-2a-a^5).

Herleitung der Eulerischen Zahl und der Exponentialfunktion

Was ist der Grenzwert von e^x/x?

Was ist die Ableitung von 0,5 hoch x?

Accepted Answer

Die Funktion \( e^x \) wächst schneller als jede Polynomfunktion \( x^n \) (wobei \( n \) eine positive ganze Zahl ist), die Exponentialfunktion eineante Wachstumsrate hat, die unabhängig von \( x \) ist Mathematisch lässt sich dies durch den Vergleich der Ableitungen zeigen. Die Ableitung von \( e^x \) ist \( e^x \), während die Ableitung von \( x^n \) \( n \cdot x^{n-1} \) ist. Für große Werte von \( x \) wird \( e^x \) also immer größer als \( x^n \), da die Wachstumsrate von \( e^x \) exponentiell ist, während die Wachstumsrate von \( x^n \) polynomial bleibt. Ein weiterer Weg, dies zu zeigen, ist der L'Hôpital'sche Regel, die besagt, dass der Grenzwert des Verhältnisses zweier Funktionen, wenn beide gegen unendlich gehen, durch die Ableitungen dieser Funktionen bestimmt werden kann. Wenn man den Grenzwert von \( \frac{x^n}{e^x} \) für \( x \to \infty \) betrachtet, erhält man: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \] Das bedeutet, dass \( e^x \) viel schneller wächst als \( x^n \), wenn \( x \) sehr groß wird.

Accepted Answer

Um zu zeigen, dass \( e^x \) schneller wächst als \( x^n \) für jedes feste \( n \), kann man die Regel von l'Hôpital verwenden. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Ansatz: 1.... [mehr]

Accepted Answer

Um zu zeigen, dass \( e^x \) schneller wächst als \( x^n \) für jedes feste \( n \), kann man die Regel von l'Hôpital verwenden. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Ansatz: 1. **Betrachte den Grenzwert**: Wir wollen den Grenzwert von \( \frac{x^n}{e^x} \) untersuchen, wenn \( x \) gegen unendlich geht: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} \] 2. **Form des Grenzwerts**: Wenn \( x \) gegen unendlich geht, wächst \( e^x \) exponentiell, während \( x^n \) polynomial wächst. Daher hat der Grenzwert die Form \( \frac{\infty}{\infty} \), was die Anwendung der Regel von l'Hôpital rechtfertigt. 3. **Anwendung der Regel von l'Hôpital**: Wir leiten den Zähler und den Nenner ab: - Der Zähler \( x^n \) hat die Ableitung \( n x^{n-1} \). - Der Nenner \( e^x \) hat die Ableitung \( e^x \). Somit erhalten wir: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n x^{n-1}}{e^x} \] 4. **Wiederhole die Anwendung**: Da der neue Zähler \( n x^{n-1} \) immer noch ein Polynom ist, können wir die Regel von l'Hôpital erneut anwenden. Nach \( n \) Anwendungen erhalten wir: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{n!}{e^x} = 0 \] 5. **Schlussfolgerung**: Da der Grenzwert \( 0 \) ist, folgt, dass \( e^x \) schneller wächst als \( x^n \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \implies e^x \text{ wächst schneller als } x^n. \] Damit ist bewiesen, dass \( e^x \) schneller wächst als \( x^n \) für jedes feste \( n \).

Accepted Answer

Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(... [mehr]

Accepted Answer

Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(4) = 24 16 = 40 \] 2. Berechne dann \( -2a - a^5 \): \[ -2(2) - (2^5) = -4 - 32 = -36 \] 3. Setze die Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck ein: \[ (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) = 40 \cdot (-36) = -1440 \] Die Probe für \( a = 2 \) ergibt also \( -1440 \).

Accepted Answer

Die Eulerische Zahl \( e \) ist die Basis der natürlichen Logarithmen und hat eine wichtige Rolle in der Mathematik, insbesondere in der Analysis. Die Herleitung der Exponentialfunktion \( e^x \)... [mehr]

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Die Eulerische Zahl \( e \) ist die Basis der natürlichen Logarithmen und hat eine wichtige Rolle in der Mathematik, insbesondere in der Analysis. Die Herleitung der Exponentialfunktion \( e^x \) kann auf verschiedene Weisen erfolgen. Eine gängige Methode ist die Definition über Grenzwertbetrachtungen. 1. **Definition von \( e \)**: Die Zahl \( e \) kann als der Grenzwert definiert werden: \[ e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \] 2. **Exponentialfunktion**: Die Exponentialfunktion \( e^x \) kann dann durch die folgende Reihe definiert werden: \[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \] Diese Reihe konvergiert für alle reellen Zahlen \( x \). 3. **Ableitung der Exponentialfunktion**: Um zu zeigen, dass die Funktion \( e^x \) die Eigenschaft hat, dass ihre Ableitung gleich der Funktion selbst ist, betrachten wir die Ableitung der Reihe: \[ \frac{d}{dx} e^x = \frac{d}{dx} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x^{n-1}}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} = e^x \] Dies zeigt, dass die Ableitung von \( e^x \) tatsächlich \( e^x \) ist. 4. **Alternative Definition über Differentialgleichung**: Eine weitere Möglichkeit, die Exponentialfunktion zu definieren, ist durch die Differentialgleichung: \[ \frac{dy}{dx} = y, \quad y(0) = 1 \] Die Lösung dieser Gleichung ist ebenfalls \( y = e^x \). Diese Herleitungen zeigen die fundamentale Rolle von \( e \) in der Mathematik und die Eigenschaften der Exponentialfunktion.

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Der Grenzwert von \(\frac{e^x}{x}\) für \(x\) gegen 0 ist nicht definiert, da der Ausdruck für \(x = 0\) nicht definiert ist (wir erhalten eine Division durch Null). Wenn du jedoch den Grenz... [mehr]

Accepted Answer

Der Grenzwert von \(\frac{e^x}{x}\) für \(x\) gegen 0 ist nicht definiert, da der Ausdruck für \(x = 0\) nicht definiert ist (wir erhalten eine Division durch Null). Wenn du jedoch den Grenzwert für \(x\) gegen unendlich betrachtest, dann gilt: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} = \infty \] Das bedeutet, dass der Ausdruck unendlich groß wird, wenn \(x\) immer größer wird.

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Die Ableitung von \(0,5^x\) kann mit der Regel für die Ableitung von Exponentialfunktionen berechnet werden. Die allgemeine Form der Ableitung einer Funktion \(a^x\) ist \(a^x \cdot \ln(a)\), wob... [mehr]

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Die Ableitung von \(0,5^x\) kann mit der Regel für die Ableitung von Exponentialfunktionen berechnet werden. Die allgemeine Form der Ableitung einer Funktion \(a^x\) ist \(a^x \cdot \ln(a)\), wobei \(a\) eine positive Konstante ist. Für \(0,5^x\) ergibt sich somit: \[ \frac{d}{dx}(0,5^x) = 0,5^x \cdot \ln(0,5) \] Das bedeutet, die Ableitung von \(0,5^x\) ist \(0,5^x \cdot \ln(0,5)\).