Warum ist y(x) = c1 + c2e^(−x) + c3xe^(−x) die Lösung von y''' + 2y'' + y' = 0?

Um zu verstehen, warum \( y(x) = c_1 + c_2 e^{-x} + c_3 x e^{-x} \) eine Lösung Differentialgleichung \( y''' + 2y'' + y' = 0 \) ist, müssen wir die Funktion und ihre Ableitungen in die Gleichung einsetzen und überprüfen, ob sie die Gleichung erfüllt.

1. **Erste Ableitung \( y' \):**
\[
y(x) = c_1 + c_2 e^{-x} + c_3 x e^{-x}
\]
\[
y'(x) = -c_2 e^{-x} + c_3 e^{-x} - c_3 x e^{-x}
\]
\[
y'(x) = (c_3 - c_2) e^{-x} - c_3 x e^{-x}
\]

2. **Zweite Ableitung \( y'' \):**
\[
y''(x) = -(c_3 - c_2) e^{-x} - c_3 e^{-x} + c_3 x e^{-x}
\]
\[
y''(x) = -c_3 e^{-x} + c_2 e^{-x}
\]

3. **Dritte Ableitung \( y''' \):**
\[
y'''(x) = c_3 e^{-x} - c_2 e^{-x}
\]

Nun setzen wir \( y' \), \( y'' \) und \( y''' \) in die Differentialgleichung ein:
\[
y''' + 2y'' + y' = 0
\]
\[
(c_3 e^{-x} - c_2 e^{-x}) + 2(-c_3 e^{-x} + c_2 e^{-x}) + ((c_3 - c_2) e^{-x} - c_3 x e^{-x}) = 0
\]

Vereinfachen wir die Terme:
\[
(c_3 e^{-x} - c_2 e^{-x}) + 2(-c_3 e^{-x} + c_2 e^{-x}) + (c_3 e^{-x} - c_2 e^{-x} - c_3 x e^{-x}) = 0
\]
\[
c_3 e^{-x} - c_2 e^{-x} - 2c_3 e^{-x} + 2c_2 e^{-x} + c_3 e^{-x} - c_2 e^{-x} - c_3 x e^{-x} = 0
\]
\(c_3 - c_2 - 2c_3 + 2c_2 + c_3 - c_2) e^{-x} - c_3 x e^{-x} = 0
\]
\(0) e^{-x} - c_3 x e^{-x = 0
\]
\[
-c_3 x e^{-x} = 0
\]

Da \( e^{-x} \) niemals null ist, muss \( c_3 = 0 \) sein, damit die Gleichung erfüllt ist. Das bedeutet, dass die Lösung \( y(x) = c_1 + c_2 e^{-x} \) ist, was eine spezielle Form der gegebenen Lösung ist.

Somit ist \( y(x) = c_1 + c_2 e^{-x} + c_3 x e^{-x} \) tatsächlich eine Lösung der Differentialgleichung \( y''' + 2y'' + y' = 0 \), wobei \( c_3 \) null sein kann, um die Gleichung zu erfüllen.