Warum ist y(x) = c1 + c2e^(−x) + c3xe^(−x) die Lösung von y''' + 2y'' + y' = 0?

Question

Warum ist y(x) = c1 + c2e^(−x) + c3xe^(−x) die Lösung von y''' + 2y'' + y' = 0?

Antwort

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Wie sieht eine Differentialgleichung aus und wie löst man sie?

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Wie löst man das Additionsverfahren bei 4x+3y=5 und -4x-5y=-5?

Was ist eine Differentialgleichung?

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Um zu verstehen, warum \( y(x) = c_1 + c_2 e^{-x} + c_3 x e^{-x} \) eine Lösung Differentialgleichung \( y''' + 2y'' + y' = 0 \) ist, müssen wir die Funktion und ihre Ableitungen in die Gleichung einsetzen und überprüfen, ob sie die Gleichung erfüllt. 1. **Erste Ableitung \( y' \):** \[ y(x) = c_1 + c_2 e^{-x} + c_3 x e^{-x} \] \[ y'(x) = -c_2 e^{-x} + c_3 e^{-x} - c_3 x e^{-x} \] \[ y'(x) = (c_3 - c_2) e^{-x} - c_3 x e^{-x} \] 2. **Zweite Ableitung \( y'' \):** \[ y''(x) = -(c_3 - c_2) e^{-x} - c_3 e^{-x} + c_3 x e^{-x} \] \[ y''(x) = -c_3 e^{-x} + c_2 e^{-x} \] 3. **Dritte Ableitung \( y''' \):** \[ y'''(x) = c_3 e^{-x} - c_2 e^{-x} \] Nun setzen wir \( y' \), \( y'' \) und \( y''' \) in die Differentialgleichung ein: \[ y''' + 2y'' + y' = 0 \] \[ (c_3 e^{-x} - c_2 e^{-x}) + 2(-c_3 e^{-x} + c_2 e^{-x}) + ((c_3 - c_2) e^{-x} - c_3 x e^{-x}) = 0 \] Vereinfachen wir die Terme: \[ (c_3 e^{-x} - c_2 e^{-x}) + 2(-c_3 e^{-x} + c_2 e^{-x}) + (c_3 e^{-x} - c_2 e^{-x} - c_3 x e^{-x}) = 0 \] \[ c_3 e^{-x} - c_2 e^{-x} - 2c_3 e^{-x} + 2c_2 e^{-x} + c_3 e^{-x} - c_2 e^{-x} - c_3 x e^{-x} = 0 \] \(c_3 - c_2 - 2c_3 + 2c_2 + c_3 - c_2) e^{-x} - c_3 x e^{-x} = 0 \] \(0) e^{-x} - c_3 x e^{-x = 0 \] \[ -c_3 x e^{-x} = 0 \] Da \( e^{-x} \) niemals null ist, muss \( c_3 = 0 \) sein, damit die Gleichung erfüllt ist. Das bedeutet, dass die Lösung \( y(x) = c_1 + c_2 e^{-x} \) ist, was eine spezielle Form der gegebenen Lösung ist. Somit ist \( y(x) = c_1 + c_2 e^{-x} + c_3 x e^{-x} \) tatsächlich eine Lösung der Differentialgleichung \( y''' + 2y'' + y' = 0 \), wobei \( c_3 \) null sein kann, um die Gleichung zu erfüllen.

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Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen vorkommen. Sie beschreibt, wie sich eine Größe (z. B. Temperatur, Geschwindigkeit, Popula... [mehr]

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Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen vorkommen. Sie beschreibt, wie sich eine Größe (z. B. Temperatur, Geschwindigkeit, Population) in Abhängigkeit von einer oder mehreren Variablen verändert. **Beispiel einer Differentialgleichung:** \[ \frac{dy}{dx} = 3y \] Hier ist \( y \) die unbekannte Funktion von \( x \), und \( \frac{dy}{dx} \) ist ihre Ableitung. **Lösen einer Differentialgleichung:** Das Ziel ist, die Funktion \( y(x) \) zu finden, die die Gleichung erfüllt. **Schritt-für-Schritt-Lösung des Beispiels:** 1. **Trennung der Variablen:** \[ \frac{dy}{dx} = 3y \implies \frac{1}{y}dy = 3dx \] 2. **Integration beider Seiten:** \[ \int \frac{1}{y}dy = \int 3dx \] \[ \ln|y| = 3x + C \] (C ist die Integrationskonstante.) 3. **Umstellen nach \( y \):** \[ |y| = e^{3x + C} = e^C \cdot e^{3x} \] \[ y(x) = A e^{3x} \] (mit \( A = \pm e^C \), eine beliebige Konstante.) **Zusammenfassung:** - Eine Differentialgleichung enthält Ableitungen einer Funktion. - Die Lösung ist eine Funktion, die die Gleichung erfüllt. - Es gibt verschiedene Methoden zur Lösung, je nach Typ der Differentialgleichung (z. B. Trennung der Variablen, Variation der Konstanten, charakteristische Gleichung bei linearen DGLs). Weitere Informationen findest du z. B. auf [Wikipedia: Differentialgleichung](https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung).

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**Beispielaufgabe:** Gegeben sind die beiden Funktionen \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \) und \( g(x) = -x^2 + 3x \). **Aufgabe:** Bestimme alle Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen. --- **Lösung:** 1. **Gleichsetzen der Funktionen:** \( f(x) = g(x) \) \( x^3 - 2x^2 + x = -x^2 + 3x \) 2. **Umstellen:** \( x^3 - 2x^2 + x + x^2 - 3x = 0 \) \( x^3 - x^2 - 2x = 0 \) 3. **Ausklammern:** \( x(x^2 - x - 2) = 0 \) 4. **Nullstellen bestimmen:** a) \( x = 0 \) b) \( x^2 - x - 2 = 0 \) Die quadratische Gleichung lösen: \( x^2 - x - 2 = 0 \) Mitternachtsformel: \( x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \) Also: \( x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \) \( x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \) Die Schnittstellen liegen also bei \( x = 0 \), \( x = 2 \), \( x = -1 \). 5. **y-Koordinaten berechnen:** Für \( x = 0 \): \( f(0) = 0^3 - 2\cdot0^2 + 0 = 0 \) Schnittpunkt: \( (0|0) \) Für \( x = 2 \): \( f(2) = 8 - 8 + 2 = 2 \) Schnittpunkt: \( (2|2) \) Für \( x = -1 \): \( f(-1) = (-1) - 2\cdot1 + (-1) = -1 - 2 - 1 = -4 \) Schnittpunkt: \( (-1|-4) \) **Antwort:** Die Graphen schneiden sich in den Punkten \( (-1|-4) \), \( (0|0) \) und \( (2|2) \).

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Um das Additions (auch Gleichsetzungs- oder Eliminationsverfahren genannt) anzuwenden, werden die beiden Gleichungen so addiert, dass eine Variable wegfällt. Hier sind die beiden Gleichungen: (I) 4x + 3y = 5 (II) -4x - 5y = -5 **Schritt 1: Gleichungen addieren** Addiere (I) und (II): (4x + 3y) + (-4x - 5y) = 5 + (-5) 4x - 4x + 3y - 5y = 0 0x + (-2y) = 0 -2y = 0 **Schritt 2: Nach y auflösen** -2y = 0 y = 0 **Schritt 3: y in eine der Gleichungen einsetzen** Setze y = 0 in (I) ein: 4x + 3·0 = 5 4x = 5 x = 5/4 **Lösung:** x = 5/4 y = 0 **Lösungsmenge:** L = { (5/4 | 0) }

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Eine Differentialgleichung ist eine mathematische Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen vorkommen. Sie beschreibt, wie sich eine Größe (z. B. Temperatur, Geschwindigkeit, Konzentration) in Abhängigkeit von einer oder mehreren Variablen (z. B. Zeit, Ort) verändert. Differentialgleichungen werden häufig verwendet, um Naturgesetze und technische Prozesse zu modellieren, zum Beispiel in der Physik, Biologie, Technik oder Wirtschaft. Es gibt verschiedene Arten von Differentialgleichungen, zum Beispiel: - **Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs):** Die gesuchte Funktion hängt nur von einer unabhängigen Variablen ab (z. B. Zeit). - **Partielle Differentialgleichungen (PDEs):** Die gesuchte Funktion hängt von mehreren unabhängigen Variablen ab (z. B. Zeit und Ort). Ein einfaches Beispiel für eine gewöhnliche Differentialgleichung ist: \[ \frac{dy}{dt} = ky \] Hier beschreibt die Gleichung das Wachstum oder den Zerfall einer Größe \( y \) mit der Zeit \( t \), wobei \( k \) eine Konstante ist. Weitere Informationen findest du z. B. auf [Wikipedia: Differentialgleichung](https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung).