Was ist die Wahrscheinlichkeit, einen Gegenstand aus 100 Versuchen 3 Mal zu finden?

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, einen Gegenstand in 100 Versuchen 3 Mal zu finden, kannst du die Binomialverteilung verwenden. Die Wahrscheinlichkeit \( P(X = k) \) für \( k \) Erfolge in \( n \) Versuchen ist gegeben durch die Formel:

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]

Hierbei ist:
- \( n = 100 \) (die Anzahl der Versuche),
- \( k = 3 \) (die Anzahl der Erfolge),
- \( p \) die Wahrscheinlichkeit, den Gegenstand in einem einzelnen Versuch zu finden.

Um \( p \) zu bestimmen, kannst du die Anzahl der Erfolge durch die Anzahl der Versuche teilen. In deinem Fall hast du 3 Erfolge in 100 Versuchen, also:

\[
p = \frac{3}{100} = 0.03
\]

Setze nun die Werte in die Formel ein:

\[
P(X = 3) = \binom{100}{3} (0.03)^3 (0.97)^{97}
\]

Berechne zuerst den Binomialkoeffizienten \( \binom{100}{3} \):

\[
\binom{100}{3} = \frac{100!}{3!(100-3)!} = \frac{100 \times 99 \times 98}{3 \times 2 \times 1} = 161700
\]

Jetzt setze alles in die Formel ein:

\[
P(X = 3) = 161700 \times (0.03)^3 \times (0.97)^{97}
\]

Berechne die einzelnen Teile:

\[
(0.03)^3 = 0.000027
\]
\[
(0.97)^{97} \approx 0.049
\]

Setze die Werte zusammen:

\[
P(X = 3) \approx 161700 \times 0.000027 \times 0.049 \approx 0.000193
\]

Die Wahrscheinlichkeit, den Gegenstand in 100 Versuchen genau 3 Mal zu finden, beträgt also ungefähr 0.0193 oder 1.93%.