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Was ist die Wahrscheinlichkeit, einen Gegenstand aus 100 Versuchen 3 Mal zu finden?
Antwort vomUm die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, einen Gegenstand in 100 Versuchen 3 Mal zu finden, kannst du die Binomialverteilung verwenden. Die Wahrscheinlichkeit \( P(X = k) \) für \( k \) Erfolge in \( n \) Versuchen ist gegeben durch die Formel: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] Hierbei ist: - \( n = 100 \) (die Anzahl der Versuche), - \( k = 3 \) (die Anzahl der Erfolge), - \( p \) die Wahrscheinlichkeit, den Gegenstand in einem einzelnen Versuch zu finden. Um \( p \) zu bestimmen, kannst du die Anzahl der Erfolge durch die Anzahl der Versuche teilen. In deinem Fall hast du 3 Erfolge in 100 Versuchen, also: \[ p = \frac{3}{100} = 0.03 \] Setze nun die Werte in die Formel ein: \[ P(X = 3) = \binom{100}{3} (0.03)^3 (0.97)^{97} \] Berechne zuerst den Binomialkoeffizienten \( \binom{100}{3} \): \[ \binom{100}{3} = \frac{100!}{3!(100-3)!} = \frac{100 \times 99 \times 98}{3 \times 2 \times 1} = 161700 \] Jetzt setze alles in die Formel ein: \[ P(X = 3) = 161700 \times (0.03)^3 \times (0.97)^{97} \] Berechne die einzelnen Teile: \[ (0.03)^3 = 0.000027 \] \[ (0.97)^{97} \approx 0.049 \] Setze die Werte zusammen: \[ P(X = 3) \approx 161700 \times 0.000027 \times 0.049 \approx 0.000193 \] Die Wahrscheinlichkeit, den Gegenstand in 100 Versuchen genau 3 Mal zu finden, beträgt also ungefähr 0.0193 oder 1.93%.
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