Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau einmal Zahl zu werfen, wenn eine Münze dreimal geworfen wird?

Question

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau einmal Zahl zu werfen, wenn eine Münze dreimal geworfen wird?

Antwort

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten die 8 Kreuz-Karten gezogen werden?

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, genau einmal Zahl zu werfen, wenn eine Münze dreimal geworfen wird, kann man die Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeit für Zahl (Z) oder Wappen (W) bei einem Münzwurf ist jeweils 0,5. Die Anzahl der möglichen Ergebnisse bei drei Würfen ist \(2^3 = 8\). Diese Ergebnisse sind: - W, W, W - W, W, Z - W, Z, W - W, Z, Z - Z, W, W - Z, W Z - Z, Z, W - Z, Z, Z Um genau einmal Zahl zu werfen, gibt es folgende Kombinationen: - Z, W, W - W, Z, W - W, W, Z Es gibt also 3 günstige Kombinationen. Die Wahrscheinlichkeit für jede dieser Kombinationen ist: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \] Da es 3 günstige Kombinationen gibt, ist die Gesamtwahrscheinlichkeit: \[ 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \] Die Wahrscheinlichkeit, genau einmal Zahl zu werfen, beträgt also \(\frac{3}{8}\) oder 37,5 %.

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkei... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 8 Karten aus 32 zu ziehen, wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{32}{8}\) dargestellt. Die Anzahl der Möglichkeiten, genau die 8 Kreuz-Karten zu ziehen, ist 1, da es nur eine Möglichkeit gibt, diese spezifischen Karten zu wählen. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist also: \[ P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} = \frac{1}{\binom{32}{8}} \] Nun berechnen wir \(\binom{32}{8}\): \[ \binom{32}{8} = \frac{32!}{8!(32-8)!} = \frac{32!}{8! \cdot 24!} \] Das ergibt: \[ \binom{32}{8} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 105,622,176 \] Somit ist die Wahrscheinlichkeit: \[ P = \frac{1}{105,622,176} \approx 9.47 \times 10^{-9} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass die 8 gezogenen Karten die 8 Kreuz-Karten sind, beträgt also etwa \(9.47 \times 10^{-9}\) oder 0.00000000947.