Wahrscheinlichkeit bei 2 Ziehungen ohne Zurücklegen für ss, ws, rs bei Kugeln (6 r, 3 w, 1 s)?

Question

Wahrscheinlichkeit bei 2 Ziehungen ohne Zurücklegen für ss, ws, rs bei Kugeln (6 r, 3 w, 1 s)?

Antwort

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten die 8 Kreuz-Karten gezogen werden?

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kombinationen von Kugeln bei zwei Ziehungen ohne Zurücklegen zu berechnen, müssen wir die Anzahl der günstigen Kombinationen durch die Gesamtanzahl der möglichen Kombinationen teilen. Es gibt insgesamt 10 Kugeln: 6 rote (r), 3 weiße (w) und 1 schwarze (s). Die Gesamtanzahl der möglichen Kombinationen von 2 Kugeln aus 10 ist: \[ \binom{10}{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \] Nun berechnen wir die Anzahl der günstigen Kombinationen für jede der gefragten Kombinationen: 1. **ss (schwarz-schwarz)**: - Es gibt nur eine schwarze Kugel, daher ist es unmöglich, zwei schwarze Kugeln zu ziehen. - Anzahl der günstigen Kombinationen: 0 - Wahrscheinlichkeit: \(\frac{0}{45} = 0\) 2. **ws (weiß-schwarz)**: - Es gibt 3 weiße und 1 schwarze Kugel. - Anzahl der günstigen Kombinationen: \(\binom{3}{1} \times \binom{1}{1} = 3 \times 1 = 3\) - Wahrscheinlichkeit: \(\frac{3}{45} = \frac{1}{15}\) 3. **rs (rot-schwarz)**: - Es gibt 6 rote und 1 schwarze Kugel. - Anzahl der günstigen Kombinationen: \(\binom{6}{1} \times \binom{1}{1} = 6 \times 1 = 6\) - Wahrscheinlichkeit: \(\frac{6}{45} = \frac{2}{15}\) Zusammengefasst: - Wahrscheinlichkeit für ss: 0 - Wahrscheinlichkeit für ws: \(\frac{1}{15}\) - Wahrscheinlichkeit für rs: \(\frac{2}{15}\)

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkei... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 8 Karten aus 32 zu ziehen, wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{32}{8}\) dargestellt. Die Anzahl der Möglichkeiten, genau die 8 Kreuz-Karten zu ziehen, ist 1, da es nur eine Möglichkeit gibt, diese spezifischen Karten zu wählen. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist also: \[ P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} = \frac{1}{\binom{32}{8}} \] Nun berechnen wir \(\binom{32}{8}\): \[ \binom{32}{8} = \frac{32!}{8!(32-8)!} = \frac{32!}{8! \cdot 24!} \] Das ergibt: \[ \binom{32}{8} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 105,622,176 \] Somit ist die Wahrscheinlichkeit: \[ P = \frac{1}{105,622,176} \approx 9.47 \times 10^{-9} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass die 8 gezogenen Karten die 8 Kreuz-Karten sind, beträgt also etwa \(9.47 \times 10^{-9}\) oder 0.00000000947.