Wie berechnet man das Verhalten in Definitionslücken? Beispiel?

Das Verhalten in Definitionslücken einer Funktion zu berechnen, bedeutet, das Verhalten der Funktion in der Nähe von Punkten zu untersuchen, an denen die Funktion nicht definiert ist. Dies kann durch Grenzwertbetrachtungen geschehen. Hier ist ein Beispiel:

Betrachten wir die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x} \).

1. **Identifikation der Definitionslücke:**
Die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x} \) ist für \( x = 0 \) nicht definiert, da man nicht durch Null teilen kann. Also hat die Funktion eine Definitionslücke bei \( x = 0 \).

2. **Grenzwertbetrachtung:**
Um das Verhalten der Funktion in der Nähe der Definitionslücke zu untersuchen, betrachten wir die Grenzwerte von \( f(x) \), wenn \( x \) sich \( 0 \) von beiden Seiten nähert.

- Wenn \( x \) sich von der positiven Seite \( 0 \) nähert (\( x \to 0^+ \)):
\[
\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty
\]
Das bedeutet, dass die Funktion \( f(x) \) gegen unendlich geht, wenn \( x \) von rechts gegen \( 0 \) strebt.

- Wenn \( x \) sich von der negativen Seite \( 0 \) nähert (\( x \to 0^- \)):
\[
\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty
\]
Das bedeutet, dass die Funktion \( f(x) \) gegen minus unendlich geht, wenn \( x \) von links gegen \( 0 \) strebt.

3. **Interpretation:**
Die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x} \) hat eine vertikale Asymptote bei \( x = 0 \). Das Verhalten der Funktion in der Nähe der Definitionslücke zeigt, dass die Funktionswerte sehr groß positiv oder negativ werden, je nachdem, von welcher Seite man sich der Lücke nähert.

Dieses Vorgehen kann auf andere Funktionen und Definitionslücken angewendet werden, indem man die entsprechenden Grenzwerte berechnet.