5 Fragen zu Definitionsluecken

Das Verhalten in Definitionslücken einer Funktion zu berechnen, bedeutet, das Verhalten der Funktion in der Nähe von Punkten zu untersuchen, an denen die Funktion nicht definiert ist. Dies kann durch Grenzwertbetrachtungen geschehen. Hier ist ein Beispiel: Betrachten wir die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x} \). 1. **Identifikation der Definitionslücke:** Die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x} \) ist für \( x = 0 \) nicht definiert, da man nicht durch Null teilen kann. Also hat die Funktion eine Definitionslücke bei \( x = 0 \). 2. **Grenzwertbetrachtung:** Um das Verhalten der Funktion in der Nähe der Definitionslücke zu untersuchen, betrachten wir die Grenzwerte von \( f(x) \), wenn \( x \) sich \( 0 \) von beiden Seiten nähert. - Wenn \( x \) sich von der positiven Seite \( 0 \) nähert (\( x \to 0^+ \)): \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \] Das bedeutet, dass die Funktion \( f(x) \) gegen unendlich geht, wenn \( x \) von rechts gegen \( 0 \) strebt. - Wenn \( x \) sich von der negativen Seite \( 0 \) nähert (\( x \to 0^- \)): \[ \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty \] Das bedeutet, dass die Funktion \( f(x) \) gegen minus unendlich geht, wenn \( x \) von links gegen \( 0 \) strebt. 3. **Interpretation:** Die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x} \) hat eine vertikale Asymptote bei \( x = 0 \). Das Verhalten der Funktion in der Nähe der Definitionslücke zeigt, dass die Funktionswerte sehr groß positiv oder negativ werden, je nachdem, von welcher Seite man sich der Lücke nähert. Dieses Vorgehen kann auf andere Funktionen und Definitionslücken angewendet werden, indem man die entsprechenden Grenzwerte berechnet.

Um das Verhalten einer Funktion in den Umgebungen ihrer Definitionslücken zu bestimmen, gehst du wie folgt vor: 1. **Identifiziere die Definitionslücken**: Finde die Werte von \( x \), für die die Funktion nicht definiert ist. Diese können durch Nullstellen des Nenners in gebrochenen Funktionen oder durch andere Einschränkungen wie Wurzeln von negativen Zahlen in reellen Funktionen entstehen. 2. **Untersuche das Verhalten in der Nähe der Definitionslücken**: - **Grenzwerte berechnen**: Bestimme die Grenzwerte der Funktion, wenn \( x \) sich den Definitionslücken von links (\( x \to a^- \)) und von rechts (\( x \to a^+ \)) nähert. Dies hilft zu verstehen, ob die Funktion gegen unendlich geht, gegen einen bestimmten Wert konvergiert oder oszilliert. - **Einseitige Grenzwerte**: Berechne die einseitigen Grenzwerte, um zu sehen, ob die Funktion unterschiedliche Werte annimmt, wenn sie sich der Definitionslücke von verschiedenen Seiten nähert. 3. **Typ der Definitionslücke bestimmen**: - **Hebbare Lücke**: Wenn der Grenzwert existiert und endlich ist, aber die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist, handelt es sich um eine hebbare Lücke. - **Polstelle**: Wenn der Grenzwert unendlich ist (die Funktion geht gegen unendlich), handelt es sich um eine Polstelle. - **Sprungstelle**: Wenn die einseitigen Grenzwerte existieren, aber unterschiedlich sind, handelt es sich um eine Sprungstelle. 4. **Verhalten grafisch darstellen**: Zeichne den Graphen der Funktion in der Nähe der Definitionslücken, um das Verhalten visuell zu überprüfen. Ein Beispiel: Betrachte die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x-2} \). - **Definitionslücke**: \( x = 2 \) (da der Nenner null wird). - **Grenzwerte**: - \( \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty \) - \( \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = \infty \) - **Typ der Definitionslücke**: Polstelle, da die Grenzwerte unendlich sind. Durch diese Schritte kannst du das Verhalten der Funktion in den Umgebungen ihrer Definitionslücken systematisch bestimmen.

Um das Verhalten einer Funktion in den Umgebungen ihrer Definitionslücken zu berechnen, gehst du wie folgt vor: 1. **Identifiziere die Definitionslücken**: Bestimme die Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist. Diese können durch Nullstellen des Nenners bei gebrochen-rationalen Funktionen oder durch andere Unstetigkeiten entstehen. 2. **Grenzwerte untersuchen**: Berechne die Grenzwerte der Funktion, wenn du dich den Definitionslücken von links und von rechts näherst. Das bedeutet, du betrachtest die einseitigen Grenzwerte \(\lim_{x \to a^-} f(x)\) und \(\lim_{x \to a^+} f(x)\), wobei \(a\) die Stelle der Definitionslücke ist. 3. **Verhalten analysieren**: Untersuche, ob die Grenzwerte endlich oder unendlich sind. Dies gibt dir Aufschluss darüber, ob die Funktion in der Nähe der Definitionslücke gegen einen bestimmten Wert strebt oder ob sie asymptotisch gegen unendlich geht. 4. **Typ der Definitionslücke bestimmen**: Basierend auf den Grenzwerten kannst du den Typ der Definitionslücke bestimmen: - **Hebbare Lücke**: Wenn die Grenzwerte von links und rechts existieren und gleich sind, kann die Lücke durch eine geeignete Definition der Funktion an dieser Stelle "behoben" werden. - **Polstelle**: Wenn die Grenzwerte unendlich sind (positiv oder negativ), handelt es sich um eine Polstelle. - **Sprungstelle**: Wenn die Grenzwerte von links und rechts existieren, aber unterschiedlich sind, handelt es sich um eine Sprungstelle. Ein Beispiel: Betrachte die Funktion \(f(x) = \frac{1}{x-2}\). 1. **Definitionslücke**: Die Funktion ist nicht definiert bei \(x = 2\). 2. **Grenzwerte untersuchen**: - \(\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty\) - \(\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = \infty\) 3. **Verhalten analysieren**: Die Funktion strebt gegen \(-\infty\), wenn man sich von links \(x = 2\) nähert, und gegen \(\infty\), wenn man sich von rechts \(x = 2\) nähert. 4. **Typ der Definitionslücke**: Dies ist eine Polstelle. Durch diese Schritte kannst du das Verhalten der Funktion in den Umgebungen ihrer Definitionslücken systematisch analysieren.

Um den maximalen Definitionsbereich der Funktion \( f(x) = \frac{x^2 - 5x + 4}{x^4 - 5x^2 + 4} \) zu bestimmen, müssen wir die Nullstellen des Nenners finden, da die Funktion nur dort definiert ist, wo der Nenner nicht null ist. 1. **Bestimmung der Nullstellen des Nenners:** Der Nenner ist \( x^4 - 5x^2 + 4 \). Um die Nullstellen zu finden, setzen wir den Nenner gleich null: \[ x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \] Wir setzen \( y = x^2 \), dann wird die Gleichung zu: \[ y^2 - 5y + 4 = 0 \] Diese quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden: \[ y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \] Daraus ergeben sich die Lösungen: \[ y_1 = 4 \quad \text{und} \quad y_2 = 1 \] Da \( y = x^2 \), erhalten wir: \[ x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2 \] \[ x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1 \] Somit sind die Nullstellen des Nenners \( x = -2, -1, 1, 2 \). 2. **Maximaler Definitionsbereich:** Der maximale Definitionsbereich der Funktion ist also: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, -1, 1, 2\} \] 3. **Untersuchung der Definitionslücken auf Hebbarkeit:** Eine Definitionslücke ist hebbar, wenn der Zähler an dieser Stelle ebenfalls null ist. Wir prüfen die Nullstellen des Zählers \( x^2 - 5x + 4 \): \[ x^2 - 5x + 4 = 0 \] Diese Gleichung hat die Lösungen: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2} \] Daraus ergeben sich: \[ x_1 = 4 \quad \text{und} \quad x_2 = 1 \] Da \( x = 1 \) eine Nullstelle des Zählers ist und auch eine Nullstelle des Nenners, ist die Lücke bei \( x = 1 \) hebbar. Für \( x = -2 \) und \( x = -1 \) sowie \( x = 2 \) ist der Zähler nicht null, daher sind diese Lücken nicht hebbar. Zusammenfassend ist der maximale Definitionsbereich: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, -1, 1, 2\} \] Die Lücke bei \( x = 1 \) ist hebbar, während die Lücken bei \( x = -2, -1, 2 \) nicht hebbar sind.

Eine gebrochen-rationale Funktion \( f(x) \) mit den gewünschten Eigenschaften kann wie folgt konstruiert werden: Die Nullstellen 2 und -2 bedeuten, dass der Zähler der Funktion die Faktoren \( (x - 2) \) und \( (x + 2) \) enthalten muss. Die Definitionslücken 4 und -4 bedeuten, dass der Nenner der Funktion die Faktoren \( (x - 4) \) und \( (x + 4) \) enthalten muss. Somit kann der Funktionsterm wie folgt formuliert werden: \[ f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 4)(x + 4)} \] Dies vereinfacht sich zu: \[ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 16} \] Hierbei hat die Funktion die Nullstellen bei \( x = 2 \) und \( x = -2 \) sowie die Definitionslücken bei \( x = 4 \) und \( x = -4 \).