Vergrößert man den Radius r eines Kreises um 4 cm, so entsteht ein Kreis, dessen Flächeninhalt dreimal so groß ist wie der des ersten Kreises. Bestimme den ursprünglichen Radius.

Question

Vergrößert man den Radius r eines Kreises um 4 cm, so entsteht ein Kreis, dessen Flächeninhalt dreimal so groß ist wie der des ersten Kreises. Bestimme den ursprünglichen Radius.

Antwort

Verwandte Fragen

Was sind Radius und Durchmesser einfach erklärt?

Was bedeutet ein Radius von 5 Metern?

Worin unterscheidet sich die Kurvenerzeugung der Parabel y=x^2 von der des Kreises y=(r^2-x^2)^{1/2}, sodass Euklid sie nicht zulässt?

Wie berechnet man den Radius eines Kreisausschnitts aus Winkel und Flächeninhalt?

Accepted Answer

Um das Problem zu lösen, verwenden wir die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises: \[ A = \pi r^2 \] Sei \( r \) der ursprüngliche Radius des Kreises. Der Flächeninhalt des ursprünglichen Kreises ist dann: \[ A_1 = \pi r^2 \] Wenn der Radius um 4 cm vergrößert wird, beträgt der neue Radius \( r + 4 \) cm. Der Flächeninhalt des neuen Kreises ist: \[ A_2 = \pi (r + 4)^2 \] Laut der Aufgabenstellung ist der Flächeninhalt des neuen Kreises dreimal so groß wie der des ursprünglichen Kreises: \[ A_2 = 3 A_1 \] Setzen wir die Flächeninhalte in die Gleichung ein: \[ \pi (r + 4)^2 = 3 \pi r^2 \] Da \( \pi \) auf beiden Seiten der Gleichung steht, können wir es kürzen: \[ (r + 4)^2 = 3 r^2 \] Nun entwickeln wir die linke Seite: \[ r^2 + 8r + 16 = 3r^2 \] Bringen wir alle Terme auf eine Seite der Gleichung: \[ 0 = 3r^2 - r^2 - 8r - 16 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 0 = 2r^2 - 8r - 16 \] Teilen wir die gesamte Gleichung durch 2: \[ 0 = r^2 - 4r - 8 \] Jetzt verwenden wir die Mitternachtsformel (Quadratische Formel) zur Lösung der Gleichung: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \( a = 1 \), \( b = -4 \) und \( c = -8 \): \[ r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} \] \[ r = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} \] \[ r = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2} \] \[ r = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} \] \[ r = 2 \pm 2\sqrt{3} \] Da der Radius positiv sein muss, nehmen wir die positive Lösung: \[ r = 2 + 2\sqrt{3} \] Somit ist der ursprüngliche Radius des Kreises \( r = 2 + 2\sqrt{3} \) cm.

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Der Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises bis zum Rand. Der Durchmesser ist die Strecke, die den Kreis durch den Mittelpunkt von einer Seite zur anderen verbindet. Der Durchmesser i... [mehr]

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Der Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises bis zum Rand. Der Durchmesser ist die Strecke, die den Kreis durch den Mittelpunkt von einer Seite zur anderen verbindet. Der Durchmesser ist immer doppelt so lang wie der Radius.

Accepted Answer

Der Radius von 5 Metern bedeutet, dass der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises (oder einer Kugel) bis zum Rand (Umfang bzw. zur Oberfläche) genau 5 Meter beträgt. Der Radius ist also die g... [mehr]

Accepted Answer

Der Radius von 5 Metern bedeutet, dass der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises (oder einer Kugel) bis zum Rand (Umfang bzw. zur Oberfläche) genau 5 Meter beträgt. Der Radius ist also die gerade Linie vom Zentrum bis zum Rand und misst in diesem Fall 5 Meter.

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Die Unterschiede in der Kurvenerzeugung zwischen der Parabel \( y = x^2 \) und dem Kreis \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \) liegen in den Prinzipien der klassischen euklidischen Geometrie, wie sie Euklid in s... [mehr]

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Die Unterschiede in der Kurvenerzeugung zwischen der Parabel \( y = x^2 \) und dem Kreis \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \) liegen in den Prinzipien der klassischen euklidischen Geometrie, wie sie Euklid in seinen „Elementen“ festgelegt hat. **1. Euklidische Konstruktionen:** Euklid erlaubt nur Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Das bedeutet, es dürfen nur Geraden und Kreise (bzw. Kreisbögen) gezeichnet werden, die durch diese Werkzeuge entstehen. **2. Kreis:** Die Gleichung \( x^2 + y^2 = r^2 \) beschreibt einen Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius \( r \). Einen Kreis kann man mit Zirkel und Lineal nach Euklid konstruieren, indem man einen festen Punkt (Mittelpunkt) und einen festen Abstand (Radius) vorgibt. **3. Parabel:** Die Gleichung \( y = x^2 \) beschreibt eine Parabel. Parabeln sind Kegelschnitte, die entstehen, wenn man einen Kegel mit einer Ebene schneidet, die parallel zu einer Mantellinie des Kegels verläuft. Die Parabel lässt sich jedoch **nicht** mit Zirkel und Lineal konstruieren. Es gibt kein euklidisches Verfahren, mit dem man eine Parabel direkt zeichnen kann, da sie nicht durch die Grundoperationen (Kreis und Gerade) erzeugt werden kann. **4. Prinzipieller Unterschied:** - **Kreis:** Erlaubt, da er mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann. - **Parabel:** Nicht erlaubt, da sie nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann. **5. Mathematischer Hintergrund:** - Die Kreisgleichung ist algebraisch zweiten Grades in beiden Variablen und entspricht der Definition eines Kreises als Menge aller Punkte mit konstantem Abstand zum Mittelpunkt. - Die Parabelgleichung ist zwar auch zweiten Grades, aber sie beschreibt eine andere Kurvenart, die nicht auf die euklidischen Grundkonstruktionen zurückgeführt werden kann. **Fazit:** Euklid lässt die Parabel nicht zu, weil sie nicht mit Zirkel und Lineal erzeugt werden kann, während der Kreis genau diesen Prinzipien entspricht. Das ist der fundamentale Unterschied in der Kurvenerzeugung, der dazu führt, dass Euklid die Parabel nicht zulässt, den Kreis aber schon. Weitere Informationen zu Euklids Geometrie: [Wikipedia: Euklidische Geometrie](https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie) [Wikipedia: Parabel](https://de.wikipedia.org/wiki/Parabel_(Mathematik)) [Wikipedia: Kreis](https://de.wikipedia.org/wiki/Kreis)

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Wenn dir der Winkel \(\alpha\) (in Grad oder Bogenmaß) und der Flächeninhalt \(A_a\) eines Kreissektors gegeben sind, kannst du den Radius \(r\) mit folgender Formel berechnen: **Formel:**... [mehr]

Accepted Answer

Wenn dir der Winkel \(\alpha\) (in Grad oder Bogenmaß) und der Flächeninhalt \(A_a\) eines Kreissektors gegeben sind, kannst du den Radius \(r\) mit folgender Formel berechnen: **Formel:** \[ A_a = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \] **Umgestellt nach \(r\):** \[ r = \sqrt{ \frac{A_a \cdot 360^\circ}{\alpha \cdot \pi} } \] **Hinweis:** - Wenn der Winkel \(\alpha\) im Bogenmaß (\(\text{rad}\)) gegeben ist, lautet die Formel: \[ A_a = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot \pi r^2 = \frac{\alpha}{2} r^2 \] Umgestellt nach \(r\): \[ r = \sqrt{ \frac{2A_a}{\alpha} } \] **Achte darauf, dass der Winkel und die Formel zueinander passen (Grad oder Bogenmaß)!**