Vergrößert man den Radius r eines Kreises um 4 cm, so entsteht ein Kreis, dessen Flächeninhalt dreimal so groß ist wie der des ersten Kreises. Bestimme den ursprünglichen Radius.

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Vergrößert man den Radius r eines Kreises um 4 cm, so entsteht ein Kreis, dessen Flächeninhalt dreimal so groß ist wie der des ersten Kreises. Bestimme den ursprünglichen Radius.

Antwort

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Wie rechne ich den Flächeninhalt eines Kreises, wenn ich nur den Durchmesser habe? Gib ein Beispiel.

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Welche Länge hat ein Rechteck bei zentrischer Streckung mit k=3,5, Flächeninhalt 400 dm² und Umfang 82 dm?

Außendurchmesser berechnen bei gegebenem Innendurchmesser und Flächeninhalt

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Um das Problem zu lösen, verwenden wir die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises: \[ A = \pi r^2 \] Sei \( r \) der ursprüngliche Radius des Kreises. Der Flächeninhalt des ursprünglichen Kreises ist dann: \[ A_1 = \pi r^2 \] Wenn der Radius um 4 cm vergrößert wird, beträgt der neue Radius \( r + 4 \) cm. Der Flächeninhalt des neuen Kreises ist: \[ A_2 = \pi (r + 4)^2 \] Laut der Aufgabenstellung ist der Flächeninhalt des neuen Kreises dreimal so groß wie der des ursprünglichen Kreises: \[ A_2 = 3 A_1 \] Setzen wir die Flächeninhalte in die Gleichung ein: \[ \pi (r + 4)^2 = 3 \pi r^2 \] Da \( \pi \) auf beiden Seiten der Gleichung steht, können wir es kürzen: \[ (r + 4)^2 = 3 r^2 \] Nun entwickeln wir die linke Seite: \[ r^2 + 8r + 16 = 3r^2 \] Bringen wir alle Terme auf eine Seite der Gleichung: \[ 0 = 3r^2 - r^2 - 8r - 16 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 0 = 2r^2 - 8r - 16 \] Teilen wir die gesamte Gleichung durch 2: \[ 0 = r^2 - 4r - 8 \] Jetzt verwenden wir die Mitternachtsformel (Quadratische Formel) zur Lösung der Gleichung: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \( a = 1 \), \( b = -4 \) und \( c = -8 \): \[ r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} \] \[ r = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} \] \[ r = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2} \] \[ r = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} \] \[ r = 2 \pm 2\sqrt{3} \] Da der Radius positiv sein muss, nehmen wir die positive Lösung: \[ r = 2 + 2\sqrt{3} \] Somit ist der ursprüngliche Radius des Kreises \( r = 2 + 2\sqrt{3} \) cm.

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Um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen, wenn du nur den Durchmesser hast, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Durchmesser in den Radius umrechnen: Der Radius ist die Hälfte... [mehr]

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Um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen, wenn du nur den Durchmesser hast, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Durchmesser in den Radius umrechnen: Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers. \[ r = \frac{d}{2} \] wobei \(d\) der Durchmesser ist. 2. **Flächeninhalt berechnen**: Der Flächeninhalt \(A\) eines Kreises wird mit der Formel \[ A = \pi r^2 \] berechnet. **Beispiel**: Angenommen, der Durchmesser des Kreises beträgt 10 cm. 1. Berechne den Radius: \[ r = \frac{10 \, \text{cm}}{2} = 5 \, \text{cm} \] 2. Berechne den Flächeninhalt: \[ A = \pi (5 \, \text{cm})^2 = \pi \times 25 \, \text{cm}^2 \approx 78,54 \, \text{cm}^2 \] Der Flächeninhalt des Kreises beträgt also ungefähr 78,54 cm².

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Um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen, wenn du nur den Durchmesser hast, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Durchmesser in den Radius umrechnen**: Der Radius \( r \) ist die H&... [mehr]

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Um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen, wenn du nur den Durchmesser hast, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Durchmesser in den Radius umrechnen**: Der Radius \( r \) ist die Hälfte des Durchmessers \( d \). Das bedeutet: \[ r = \frac{d}{2} \] 2. **Flächeninhalt berechnen**: Der Flächeninhalt \( A \) eines Kreises wird mit der Formel \( A = \pi r^2 \) berechnet. Setze den Radius in die Formel ein: \[ A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 \] 3. **Vereinfachen**: Das ergibt: \[ A = \pi \frac{d^2}{4} \] Somit kannst du den Flächeninhalt eines Kreises berechnen, indem du den Durchmesser in die Formel \( A = \frac{\pi d^2}{4} \) einsetzt.

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Um den Radius eines Kreises zu berechnen, wenn du den Flächeninhalt (A) kennst, kannst du die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises verwenden: \[ A = \pi r^2 \] Dabei ist \( r \)... [mehr]

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Um den Radius eines Kreises zu berechnen, wenn du den Flächeninhalt (A) kennst, kannst du die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises verwenden: \[ A = \pi r^2 \] Dabei ist \( r \) der Radius des Kreises und \( \pi \) ist eine mathematische Konstante, die ungefähr 3,59 beträgt. Um den Radius zu finden, kannst du die Formel umstellen: 1. Teile den Flächeninhalt durch \( \pi \): \[ r^2 = \frac{A}{\pi} \] 2. Ziehe die Quadratwurzel, um den Radius zu erhalten: \[ r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \] Jetzt kannst du den Radius berechnen, wenn du den Flächeninhalt kennst.

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Der Flächeninhalt \( A \) eines Kreises kann mit der Formel \( A = \pi r^2 \) berechnet werden, wobei \( r \) der Radius des Kreises ist. Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers. In dies... [mehr]

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Der Flächeninhalt \( A \) eines Kreises kann mit der Formel \( A = \pi r^2 \) berechnet werden, wobei \( r \) der Radius des Kreises ist. Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers. In diesem Fall beträgt der Durchmesser 47 Meter, also ist der Radius: \[ r = \frac{47}{2} = 23,5 \text{ Meter} \] Nun berechnen wir den Flächeninhalt: \[ A = \pi (23,5)^2 \approx 3,14159 \times 552,25 \approx 1735,57 \text{ Quadratmeter} \] Der Flächeninhalt des Kreises beträgt also ungefähr 1735,57 Quadratmeter.

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Bei einer zentrischen Streckung wird die Fläche und der Umfang eines geometrischen Körpers durch den Streckfaktor k beeinflusst. 1. **Flächeninhalt nach der Streckung**: Der neue F... [mehr]

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Bei einer zentrischen Streckung wird die Fläche und der Umfang eines geometrischen Körpers durch den Streckfaktor k beeinflusst. 1. **Flächeninhalt nach der Streckung**: Der neue Flächeninhalt \( A' \) nach der Streckung ist gegeben durch: \[ A' = k^2 \cdot A \] Hier ist \( A = 400 \, \text{dm}^2 \) und \( k = 3,5 \): \[ A' = (3,5)^2 \cdot 400 = 12,25 \cdot 400 = 4900 \, \text{dm}^2 \] 2. **Umfang nach der Streckung**: Der neue Umfang \( U' \) nach der Streckung ist gegeben durch: \[ U' = k \cdot U \] Hier ist \( U = 82 \, \text{dm} \): \[ U' = 3,5 \cdot 82 = 287 \, \text{dm} \] 3. **Längen der Seiten des Rechtecks**: Um die Längen der Seiten des ursprünglichen Rechtecks zu finden, nutzen wir die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt. Sei \( l \) die Länge und \( b \) die Breite des Rechtecks: \[ U = 2(l + b) = 82 \implies l + b = 41 \] \[ A = l \cdot b = 400 \] Nun können wir \( b \) aus der ersten Gleichung ausdrücken: \[ b = 41 - l \] Setze dies in die Flächeninhalt-Gleichung ein: \[ l \cdot (41 - l) = 400 \] Dies ergibt die Gleichung: \[ 41l - l^2 = 400 \implies l^2 - 41l + 400 = 0 \] Um die Lösungen für \( l \) zu finden, verwenden wir die Mitternachtsformel: \[ l = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{41 \pm \sqrt{(-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 1600}}{2} = \frac{41 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{41 \pm 9}{2} \] Dies ergibt die Lösungen: \[ l_1 = \frac{50}{2} = 25 \quad \text{und} \quad l_2 = \frac{32}{2} = 16 \] Somit sind die Seitenlängen des Rechtecks \( l = 25 \, \text{dm} \) und \( b = 16 \, \text{dm} \) (oder umgekehrt). Zusammenfassend: - Flächeninhalt nach der Streckung: \( 4900 \, \text{dm}^2 \) - Umfang nach der Streckung: \( 287 \, \text{dm} \) - Ursprüngliche Seitenlängen: \( 25 \, \text{dm} \) und \( 16 \, \text{dm} \)

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Um den Außendurchmesser zu berechnen, wenn der Innendurchmesser und der Flächeninhalt gegeben sind, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Innendurchmesser (d_in)**: Dieser ist gegeben... [mehr]

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Um den Außendurchmesser zu berechnen, wenn der Innendurchmesser und der Flächeninhalt gegeben sind, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Innendurchmesser (d_in)**: Dieser ist gegeben. Der Radius (r_in) ist die Hälfte des Innendurchmessers: \[ r_{in} = \frac{d_{in}}{2} \] 2. **Flächeninhalt (A)**: Der Flächeninhalt ist ebenfalls gegeben. Der Flächeninhalt eines Kreises wird durch die Formel \(A = \pi r^2\) beschrieben. Um den Außendurchmesser zu finden, benötigst du den Außendurchmesser (d_out) und den dazugehörigen Radius (r_out): \[ A = \pi r_{out}^2 \] 3. **Berechne den Außendurchmesser**: Um den Außendurchmesser zu finden, musst du zuerst den Radius des äußeren Kreises berechnen: \[ r_{out} = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \] Dann kannst du den Außendurchmesser berechnen: \[ d_{out} = 2 \cdot r_{out} \] 4. **Zusammenfassung**: Setze die Werte in die Formeln ein, um den Außendurchmesser zu berechnen. Beachte, dass der Flächeninhalt A den Bereich zwischen dem inneren und äußeren Kreis beschreibt, also sicherstellen musst, dass der Flächeninhalt korrekt interpretiert wird, wenn du die Berechnungen durchführst.