Was ist der Unterschied zwischen Wiederholung und Zurücklegen in der Kombinatorik?

Question

Was ist der Unterschied zwischen Wiederholung und Zurücklegen in der Kombinatorik?

Antwort

Verwandte Fragen

Auf wie viele Arten können 6 CDs im Regal angeordnet werden?

(n-k)! in Produktform schreiben?

Was bedeutet bin(n,k)?

Wie wird n(n-1)...(n-k+1)/k! zu n!/(k!(n-k)!) umgeformt?

Wie hängt das Produkt n(n-1)(n-2)...(n-k+1) mit n! zusammen?

Wie hängt das Produkt n(n-1)(n-2)…(n-k+1) mit n! zusammen?

Accepted Answer

In der Kombinatorik bezieht sich der Unterschied zwischen "Wiederholung" und "Zurücklegen" auf die Art und Weise, wie Elemente ausgewählt werden. 1. **Wiederholung**: Hierbei dürfen die gleichen Elemente mehrmals ausgewählt werden. Zum Beispiel, wenn du aus einer Menge von 3 verschiedenen Farben (Rot, Blau, Grün) 2 Farben auswählst und Wiederholungen erlaubt sind, könnten die möglichen Kombinationen Rot-Rot, Rot-Blau, Rot-Grün, Blau-Rot, Blau-Blau, Blau-Grün, Grün-Rot, Grün-Blau und Grün-Grün sein. 2. **Zurücklegen**: Dies bedeutet, dass nach der Auswahl eines Elements dieses Element wieder "zurückgelegt" wird, sodass es bei der nächsten Auswahl erneut gewählt werden kann. Der Begriff wird oft synonym mit Wiederholung verwendet, da beide Konzepte die Möglichkeit beinhalten, dass ein Element mehrmals ausgewählt werden kann. Der Hauptunterschied liegt oft in der Formulierung und dem Kontext, in dem die Begriffe verwendet werden. In vielen Fällen werden die Begriffe jedoch austauschbar verwendet, da sie ähnliche Konzepte beschreiben. Es ist wichtig, den Kontext zu beachten, um Missverständnisse zu vermeiden.

Accepted Answer

Die 6 CDs können auf **720 verschiedene Arten** im Regal angeordnet werden. Das ergibt sich aus der Anzahl der Permutationen von 6 verschiedenen Objekten, also \( 6! \) (6 Fakultät): \( 6!... [mehr]

Accepted Answer

Die 6 CDs können auf **720 verschiedene Arten** im Regal angeordnet werden. Das ergibt sich aus der Anzahl der Permutationen von 6 verschiedenen Objekten, also \( 6! \) (6 Fakultät): \( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \)

Accepted Answer

Die Produkteschreibweise für \((n-k)!\) lautet: \[ (n-k)! = \prod_{i=1}^{n-k} i \] Das bedeutet: Multipliziere alle natürlichen Zahlen von 1 bis \(n-k\) miteinander.

Accepted Answer

Die Produkteschreibweise für \((n-k)!\) lautet: \[ (n-k)! = \prod_{i=1}^{n-k} i \] Das bedeutet: Multipliziere alle natürlichen Zahlen von 1 bis \(n-k\) miteinander.

Kategorie: Mathematik Tags: Fakultät Produktnotation Kombinatorik

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Die Schreibweise **bin(n, k)** steht meist für den **Binomialkoeffizienten** und wird auch als „n über k“ gelesen. Er gibt an, auf wie viele Arten man aus einer Menge von **n** v... [mehr]

Accepted Answer

Die Schreibweise **bin(n, k)** steht meist für den **Binomialkoeffizienten** und wird auch als „n über k“ gelesen. Er gibt an, auf wie viele Arten man aus einer Menge von **n** verschiedenen Objekten **k** Objekte auswählen kann, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Mathematisch wird der Binomialkoeffizient so definiert: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \] Dabei ist „!“ das Fakultätszeichen (z. B. 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24). **Beispiel:** \[ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10 \] Das bedeutet: Es gibt 10 Möglichkeiten, aus 5 Objekten 2 auszuwählen. Weitere Informationen findest du z. B. bei [Wikipedia: Binomialkoeffizient](https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient).

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Die beiden Ausdrücke 1. \(\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1)}{k!}\) 2. \(\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\) sind tatsächlich **gleichwertig**. Der zweite Ausdruck ist die bekannte Fo... [mehr]

Accepted Answer

Die beiden Ausdrücke 1. \(\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1)}{k!}\) 2. \(\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\) sind tatsächlich **gleichwertig**. Der zweite Ausdruck ist die bekannte Formel für die Anzahl der Kombinationen ("n über k"), also \(\binom{n}{k}\). **Herleitung:** Der Ausdruck \(n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1)\) ist das Produkt der ersten \(k\) Faktoren von \(n!\): \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \cdot (n-k) \cdots 1 \] Das heißt: \[ n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \] Setzt du das in den ersten Ausdruck ein, erhältst du: \[ \frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k!} = \frac{\frac{n!}{(n-k)!}}{k!} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \] **Fazit:** Du kommst von \(n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) / k!\) auf \(n! / (k! \cdot (n-k)!)\), indem du erkennst, dass das Produkt im Zähler genau \(n!\) ohne die letzten \((n-k)!\) Faktoren ist.

Accepted Answer

Der Ausdruck \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) ist das sogenannte **absteigende Produkt** von \( n \) mit \( k \) Faktoren. Es wird auch als **Fakultätsbruch** oder **fal... [mehr]

Accepted Answer

Der Ausdruck \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) ist das sogenannte **absteigende Produkt** von \( n \) mit \( k \) Faktoren. Es wird auch als **Fakultätsbruch** oder **fallende Faktorielle** bezeichnet. Die **Fakultät** von \( n \), geschrieben als \( n! \), ist definiert als das Produkt aller natürlichen Zahlen von \( n \) bis 1: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \] Um von deinem Ausdruck auf \( n! \) zu kommen, beachte Folgendes: - Dein Ausdruck hat nur \( k \) Faktoren, nämlich von \( n \) bis \( n-k+1 \). - \( n! \) hat aber alle Faktoren von \( n \) bis 1. Man kann deinen Ausdruck als Bruch von zwei Fakultäten schreiben: \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \] **Begründung:** Wenn du \( n! \) ausschreibst, hast du: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k) \cdot \ldots \cdot 1 \] Wenn du durch \( (n-k)! \) teilst, kürzt sich der hintere Teil weg: \[ \frac{n!}{(n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \] **Zusammenfassung:** Dein Produkt ist ein Teil von \( n! \). Wenn du alle Faktoren von \( n \) bis 1 haben willst, also \( n! \), musst du noch mit den fehlenden Faktoren multiplizieren, oder du schreibst es als Bruch: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)! \] bzw. \[ n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \]

Accepted Answer

Der Ausdruck \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) ist das Produkt der \( k \) aufeinanderfolgenden Zahlen von \( n \) abwärts. Das ist genau die Anzahl der Möglichkeite... [mehr]

Accepted Answer

Der Ausdruck \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) ist das Produkt der \( k \) aufeinanderfolgenden Zahlen von \( n \) abwärts. Das ist genau die Anzahl der Möglichkeiten, \( k \) verschiedene Objekte aus \( n \) zu ziehen, wobei die Reihenfolge wichtig ist (Variationen ohne Zurücklegen). Der Ausdruck \( n! \) (gesprochen: „n Fakultät“) ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von \( n \) abwärts bis 1: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \] Um von \( n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) auf \( n! \) zu kommen, multiplizierst du einfach die restlichen Faktoren bis 1 dazu. Das heißt: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \] Oder anders geschrieben: \[ n! = [n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)] \cdot (n-k)! \] Daraus folgt: \[ n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \] Das ist die Formel für die Anzahl der Permutationen von \( k \) aus \( n \) Elementen. **Zusammengefasst:** Du kommst auf \( n! \), indem du zu deinem Produkt die restlichen Faktoren bis 1 dazunimmst. Das Produkt bis \( (n-k+1) \) ist also ein Teil von \( n! \).

Was ist der Unterschied zwischen Wiederholung und Zurücklegen in der Kombinatorik?

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