Was ist in der Mathematik ein symbolischer Beweis und wie sieht dieser für die Aussage „Das Produkt 5 aufeinanderfolgender Zahlen ist stets durch 5 teilbar“ aus?

Ein symbolischer Beweis in der Mathematik verwendet Symbole und formale Logik, um eine Aussage zu beweisen. Für die Aussage "Das Produkt 5 aufeinanderfolgender Zahlen ist stets durch 5 teilbar" könnte ein symbolischer Beweis wie folgt aussehen:

1. Sei \( n \) eine beliebige ganze Zahl.
2. Betrachte die 5 aufeinanderfolgenden Zahlen \( n, n+1, n+2, n+3, n+4 \).
3. Das Produkt dieser Zahlen ist \( n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) \).

Nun zur Teilbarkeit durch 5:

4. Unter den 5 aufeinanderfolgenden Zahlen \( n, n+1, n+2, n+3, n+4 \) muss mindestens eine Zahl durch 5 teilbar sein. Dies folgt aus dem Prinzip des Pigeonhole-Prinzips (Schubfachprinzip), da es 5 verschiedene Reste gibt, wenn man durch 5 teilt (0, 1, 2, 3, 4), und es 5 Zahlen gibt.

5. Sei \( k \) die Zahl unter \( n, n+1, n+2, n+3, n+4 \), die durch 5 teilbar ist. Dann gilt \( k \equiv 0 \pmod{5} \).

6. Das Produkt \( n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) \) enthält also den Faktor \( k \), der durch 5 teilbar ist.

7. Daher ist das gesamte Produkt \( n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) \) durch 5 teilbar.

Somit ist bewiesen, dass das Produkt von 5 aufeinanderfolgenden Zahlen stets durch 5 teilbar ist.