Ein Divisor ist eine Zahl, durch die eine andere Zahl ohne Rest geteilt werden kann. Zum Beispiel ist 3 ein Divisor von 12, weil 12 geteilt durch 3 gleich 4 ist und kein Rest bleibt. In der Mathematik... [mehr]
Was ist in der Mathematik ein symbolischer Beweis und wie sieht dieser für die Aussage „Das Produkt 5 aufeinanderfolgender Zahlen ist stets durch 5 teilbar“ aus?
AntwortEin symbolischer Beweis in der Mathematik verwendet Symbole und formale Logik, um eine Aussage zu beweisen. Für die Aussage "Das Produkt 5 aufeinanderfolgender Zahlen ist stets durch 5 teilbar" könnte ein symbolischer Beweis wie folgt aussehen: 1. Sei \( n \) eine beliebige ganze Zahl. 2. Betrachte die 5 aufeinanderfolgenden Zahlen \( n, n+1, n+2, n+3, n+4 \). 3. Das Produkt dieser Zahlen ist \( n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) \). Nun zur Teilbarkeit durch 5: 4. Unter den 5 aufeinanderfolgenden Zahlen \( n, n+1, n+2, n+3, n+4 \) muss mindestens eine Zahl durch 5 teilbar sein. Dies folgt aus dem Prinzip des Pigeonhole-Prinzips (Schubfachprinzip), da es 5 verschiedene Reste gibt, wenn man durch 5 teilt (0, 1, 2, 3, 4), und es 5 Zahlen gibt. 5. Sei \( k \) die Zahl unter \( n, n+1, n+2, n+3, n+4 \), die durch 5 teilbar ist. Dann gilt \( k \equiv 0 \pmod{5} \). 6. Das Produkt \( n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) \) enthält also den Faktor \( k \), der durch 5 teilbar ist. 7. Daher ist das gesamte Produkt \( n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) \) durch 5 teilbar. Somit ist bewiesen, dass das Produkt von 5 aufeinanderfolgenden Zahlen stets durch 5 teilbar ist.
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