Ist die Summe zweier divergenter Folgen immer divergent?

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Ist die Summe zweier divergenter Folgen immer divergent?

Antwort

Verwandte Fragen

Die dreifache Summe aus 3x und 4?

Erkläre die Divergenz an einem Beispiel.

Entscheide das Konvergenzverhalten der Reihe ∑ (von k=1 bis ∞) (((−1)^k)/(2k-1)).

Die Differenz aus 18 und einer Zahl verhält sich zu 30 wie die Summe aus sechs und dieser Zahl zu zwölf. Wie heißt diese Zahl?

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Die Summe zweier divergenter Folgen ist nicht immer divergent. Es gibt Fälle, in denen die Summe zweier divergenter Folgen konvergiert. Ein Beispiel dafür sind die Folgen \( a_n = n \) und \( b_n = -n \). Beide Folgen divergieren, aber ihre Summe \( a_n + b_n = n - n = 0 \) konvergiert gegen 0. Im Allgemeinen hängt das Verhalten der Summe von den spezifischen Eigenschaften der beiden Folgen ab.

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Die dreifache Summe aus 3x und 4 wird mathematisch wie folgt ausgedrückt: 3 * (3x + 4) Das bedeutet, du multiplizierst die Summe von 3x und 4 mit 3.

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Die dreifache Summe aus 3x und 4 wird mathematisch wie folgt ausgedrückt: 3 * (3x + 4) Das bedeutet, du multiplizierst die Summe von 3x und 4 mit 3.

Kategorie: Mathematik Tags: Dreifache Summe 3x

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Divergenz ist ein Konzept aus der Vektoranalysis, das beschreibt, wie viel eine Vektorfeldquelle oder -senke einem bestimmten Punkt hat. Ein einfaches Beispiel ist das Verhalten von Wasser in einem Wa... [mehr]

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Divergenz ist ein Konzept aus der Vektoranalysis, das beschreibt, wie viel eine Vektorfeldquelle oder -senke einem bestimmten Punkt hat. Ein einfaches Beispiel ist das Verhalten von Wasser in einem Wasserstrahl. Stell dir vor, du hast einen Wasserstrahl, der aus einem Schlauch kommt. An jedem Punkt im Raum um den Wasserstrahl herum kannst du messen, wie viel Wasser in diesen Punkt hinein- oder herausfließt. - Wenn mehr Wasser aus einem Punkt herausfließt als hineinfließt, hat dieser Punkt eine positive Divergenz. Das bedeutet, dass es dort eine Quelle gibt. - Wenn mehr Wasser in einen Punkt hineinfließt als herausfließt, hat dieser Punkt eine negative Divergenz. Das bedeutet, dass es dort eine Senke gibt. - Wenn die Menge an Wasser, die hinein- und herausfließt, gleich ist, ist die Divergenz null. Mathematisch wird die Divergenz eines Vektorfeldes \(\mathbf{F} = (F_1, F_2, F_3)\) in drei Dimensionen durch die Formel \(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}\) definiert. Hierbei steht \(\nabla \cdot\) für den Divergenzoperator. Dieses Konzept findet Anwendung in verschiedenen Bereichen, wie der Fluiddynamik, Elektrodynamik und vielen anderen physikalischen Disziplinen.

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Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k-1} \] zu bestimmen, können wir den Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen anwenden. Eine alternierende Rei... [mehr]

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Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k-1} \] zu bestimmen, können wir den Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen anwenden. Eine alternierende Reihe \(\sum (-1)^k a_k\) konvergiert, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: 1. \(a_k \geq a_{k+1}\) für alle \(k\) (die Folge der Beträge ist monoton fallend). 2. \(\lim_{k \to \infty} a_k = 0\). In diesem Fall ist \(a_k = \frac{1}{2k-1}\). 1. **Monotonie**: Es gilt \(a_k = \frac{1}{2k-1} \geq a_{k+1} = \frac{1}{2(k+1)-1} = \frac{1}{2k+1}\), was zeigt, dass die Folge monoton fallend ist. 2. **Grenzwert**: Der Grenzwert ist \(\lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{2k-1} = 0\). Da beide Bedingungen erfüllt sind, konvergiert die Reihe. Um die absolute Konvergenz zu überprüfen, betrachten wir die Reihe der Beträge: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^k}{2k-1} \right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k-1}. \] Diese Reihe ist die harmonische Reihe, die divergiert. Daher ist die ursprüngliche Reihe nicht absolut konvergent. Zusammenfassend ist die Reihe konvergent, aber nicht absolut konvergent. Die richtige Antwort ist also: **Konvergent, aber nicht absolut konvergent.**

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Um die gesuchte Zahl zu finden, nennen wir sie \( x \). Die Aussage "die Differenz aus 18 und einer Zahl verhält sich zu 30, wie die Summe aus sechs und dieser Zahl zu zwölf" l&a... [mehr]

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Um die gesuchte Zahl zu finden, nennen wir sie \( x \). Die Aussage "die Differenz aus 18 und einer Zahl verhält sich zu 30, wie die Summe aus sechs und dieser Zahl zu zwölf" lässt sich mathematisch wie folgt formulieren: \[ \frac{18 - x}{30} = \frac{6 + x}{12} \] Nun kreuzmultiplizieren wir: \[ (18 - x) \cdot 12 = (6 + x) \cdot 30 \] Das ergibt: \[ 216 - 12x = 180 + 30x \] Nun bringen wir alle \( x \)-Terme auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere Seite: \[ 216 - 180 = 30x + 12x \] Das vereinfacht sich zu: \[ 36 = 42x \] Nun teilen wir beide Seiten durch 42: \[ x = \frac{36}{42} = \frac{6}{7} \] Die gesuchte Zahl ist also \( \frac{6}{7} \).