Die Summe der Quadrate zweier Zahlen, von denen eine um 12 größer ist als die andere, beträgt 794. Wie lautet die Rechnung?

Um die beiden Zahlen zu finden, bezeichnen wir die kleinere Zahl mit \( x \). Die größere Zahl ist dann \( x + 12 \).

Die Summe der Quadrate dieser beiden Zahlen kann mathematisch wie folgt ausgedrückt werden:

\[
x^2 + (x + 12)^2 = 794
\]

Nun erweitern wir den Ausdruck:

\[
x^2 + (x^2 + 24x + 144) = 794
\]

Das vereinfacht sich zu:

\[
2x^2 + 24x + 144 = 794
\]

Jetzt ziehen wir 794 von beiden Seiten ab:

\[
2x^2 + 24x + 144 - 794 = 0
\]

Das vereinfacht sich zu:

\[
2x^2 + 24x - 650 = 0
\]

Um die Gleichung zu vereinfachen, teilen wir alles durch 2:

\[
x^2 + 12x - 325 = 0
\]

Jetzt können wir die Mitternachtsformel (Quadratische Formel) anwenden, um \( x \) zu finden:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Hier ist \( a = 1 \), \( b = 12 \) und \( c = -325 \):

\[
x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-325)}}{2 \cdot 1}
\]

Das ergibt:

\[
x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 1300}}{2}
\]
\[
x = \frac{-12 \pm \sqrt{1444}}{2}
\]
\[
x = \frac{-12 \pm 38}{2}
\]

Nun berechnen wir die beiden möglichen Werte für \( x \):

1. \( x = \frac{26}{2} = 13 \)
2. \( x = \frac{-50}{2} = -25 \) (dieser Wert ist nicht relevant, da wir von positiven Zahlen ausgehen)

Die kleinere Zahl ist also \( 13 \) und die größere Zahl ist:

\[
x + 12 = 13 + 12 = 25
\]

Die beiden Zahlen sind somit \( 13 \) und \( 25 \).