Schneidet die erste Winkelhalbierende den Graphen von f(x)= 0,1875x^3-2,25x und wo sind die Schnittstellen?

Question

Schneidet die erste Winkelhalbierende den Graphen von f(x)= 0,1875x^3-2,25x und wo sind die Schnittstellen?

Antwort

Verwandte Fragen

Wie berechne ich, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt?

Wie lautet eine Musteraufgabe zur Schnittpunkte-Berechnung zweier Polynome vierten Grades mithilfe der Substitutionsmethode inklusive Lösung?

Accepted Answer

Um zu überprüfen, ob die erste Winkelhalbierende (y = x) den Graphen der Funktion \( f(x) = 0,1875x^3 - 2,25x \) schneidet, setzt man die beiden Gleichungen gleich: \[ x = 0,1875x^3 - 2,25x \] Um die Schnittstellen zu finden, bringen wir alle Terme auf eine Seite der Gleichung: \[ 0 = 0,1875x^3 - 2,25x - x \] Das vereinfacht sich zu: \[ 0 = 0,1875x^3 - 3,25x \] Faktorisieren wir die Gleichung: \[ 0 = x(0,1875x^2 - 3,25) \] Die Lösungen ergeben sich aus den Faktoren: 1. \( x = 0 \) 2. \( 0,1875x^2 - 3,25 = 0 \) Für die zweite Gleichung lösen wir nach \( x \) auf: \[ 0,1875x^2 = 3,25 \] \[ x^2 = \frac{3,25}{0,1875} \approx 17,3333 \] \[ x \approx \pm \sqrt{17,3333} \approx \pm 4,15 \] Die Schnittstellen sind also: 1. \( x = 0 \) 2. \( x \approx 4,15 \) 3. \( x \approx -4,15 \) Die genauen Schnittpunkte sind: 1. \( (0, 0) \) 2. \( (4,15, 4,15) \) 3. \( (-4,15, -4,15) \) Somit schneidet die erste Winkelhalbierende den Graphen der Funktion an den Punkten \( (0, 0) \), \( (4,15, 4,15) \) und \( (-4,15, -4,15) \).

Accepted Answer

Um zu berechnen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, gehst du wie folgt vor: 1. **Bestimme die Funktionsgleichung des Graphen.** Zum Beispiel: \( f(x) = 2x + 3 \) 2. **Notiere die Koordinaten... [mehr]

Accepted Answer

Um zu berechnen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, gehst du wie folgt vor: 1. **Bestimme die Funktionsgleichung des Graphen.** Zum Beispiel: \( f(x) = 2x + 3 \) 2. **Notiere die Koordinaten des Punktes.** Zum Beispiel: \( P(1|5) \) 3. **Setze den x-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein.** \( f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5 \) 4. **Vergleiche das Ergebnis mit dem y-Wert des Punktes.** Wenn \( f(1) = 5 \) und der Punkt \( P(1|5) \) ist, dann liegt der Punkt auf dem Graphen. **Allgemein:** Ein Punkt \( P(x_0|y_0) \) liegt auf dem Graphen der Funktion \( f(x) \), wenn gilt: \( f(x_0) = y_0 \) **Beispiel mit einer anderen Funktion:** Funktion: \( f(x) = x^2 \) Punkt: \( Q(2|4) \) Prüfung: \( f(2) = 2^2 = 4 \) → Punkt liegt auf dem Graphen. **Zusammenfassung:** Setze den x-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Ist das Ergebnis gleich dem y-Wert des Punktes, liegt der Punkt auf dem Graphen.

Accepted Answer

Eine typische Aufgabe zu Schnittstellen (Schnittpunkten) von Polynomfunktionen, bei der eine Funktion vierten Grades mit der Substitutionsmethode gelöst werden soll, könnte so aussehen: **A... [mehr]

Accepted Answer

Eine typische Aufgabe zu Schnittstellen (Schnittpunkten) von Polynomfunktionen, bei der eine Funktion vierten Grades mit der Substitutionsmethode gelöst werden soll, könnte so aussehen: **Aufgabenstellung:** Gegeben sind die Funktionen \( f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 \) und \( g(x) = x^2 - 2 \). Berechne die Schnittpunkte der beiden Graphen. Verwende dabei die Substitutionsmethode. **Lösung:** 1. **Gleichsetzen der Funktionen:** \( f(x) = g(x) \) \( x^4 - 5x^2 + 4 = x^2 - 2 \) 2. **Umstellen:** \( x^4 - 5x^2 + 4 - x^2 + 2 = 0 \) \( x^4 - 6x^2 + 6 = 0 \) 3. **Substitution:** Setze \( y = x^2 \): \( y^2 - 6y + 6 = 0 \) 4. **Lösen der quadratischen Gleichung:** \( y_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3} \) 5. **Rücksubstitution:** \( x^2 = 3 + \sqrt{3} \) oder \( x^2 = 3 - \sqrt{3} \) Also: \( x_1 = \sqrt{3 + \sqrt{3}} \) \( x_2 = -\sqrt{3 + \sqrt{3}} \) \( x_3 = \sqrt{3 - \sqrt{3}} \) \( x_4 = -\sqrt{3 - \sqrt{3}} \) 6. **Berechnung der y-Werte:** Setze die x-Werte in \( g(x) \) ein, z.B. für \( x_1 \): \( y_1 = g(x_1) = (3 + \sqrt{3}) - 2 = 1 + \sqrt{3} \) Analog für die anderen Werte. **Antwort:** Die Schnittpunkte sind \( (\sqrt{3 + \sqrt{3}},\ 1 + \sqrt{3}) \), \( (-\sqrt{3 + \sqrt{3}},\ 1 + \sqrt{3}) \), \( (\sqrt{3 - \sqrt{3}},\ 1 - \sqrt{3}) \), \( (-\sqrt{3 - \sqrt{3}},\ 1 - \sqrt{3}) \). --- **Hinweis:** Die Substitutionsmethode ist hier das Ersetzen von \( x^2 \) durch \( y \), um die Gleichung vierten Grades auf eine quadratische Gleichung zu reduzieren.