Eine typische Aufgabe zu Schnittstellen (Schnittpunkten) von Polynomfunktionen, bei der eine Funktion vierten Grades mit der Substitutionsmethode gelöst werden soll, könnte so aussehen: **Aufgabenstellung:** Gegeben sind die Funktionen \( f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 \) und \( g(x) = x^2 - 2 \). Berechne die Schnittpunkte der beiden Graphen. Verwende dabei die Substitutionsmethode. **Lösung:** 1. **Gleichsetzen der Funktionen:** \( f(x) = g(x) \) \( x^4 - 5x^2 + 4 = x^2 - 2 \) 2. **Umstellen:** \( x^4 - 5x^2 + 4 - x^2 + 2 = 0 \) \( x^4 - 6x^2 + 6 = 0 \) 3. **Substitution:** Setze \( y = x^2 \): \( y^2 - 6y + 6 = 0 \) 4. **Lösen der quadratischen Gleichung:** \( y_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3} \) 5. **Rücksubstitution:** \( x^2 = 3 + \sqrt{3} \) oder \( x^2 = 3 - \sqrt{3} \) Also: \( x_1 = \sqrt{3 + \sqrt{3}} \) \( x_2 = -\sqrt{3 + \sqrt{3}} \) \( x_3 = \sqrt{3 - \sqrt{3}} \) \( x_4 = -\sqrt{3 - \sqrt{3}} \) 6. **Berechnung der y-Werte:** Setze die x-Werte in \( g(x) \) ein, z.B. für \( x_1 \): \( y_1 = g(x_1) = (3 + \sqrt{3}) - 2 = 1 + \sqrt{3} \) Analog für die anderen Werte. **Antwort:** Die Schnittpunkte sind \( (\sqrt{3 + \sqrt{3}},\ 1 + \sqrt{3}) \), \( (-\sqrt{3 + \sqrt{3}},\ 1 + \sqrt{3}) \), \( (\sqrt{3 - \sqrt{3}},\ 1 - \sqrt{3}) \), \( (-\sqrt{3 - \sqrt{3}},\ 1 - \sqrt{3}) \). --- **Hinweis:** Die Substitutionsmethode ist hier das Ersetzen von \( x^2 \) durch \( y \), um die Gleichung vierten Grades auf eine quadratische Gleichung zu reduzieren.