2 Fragen zu Substitutionsmethode

Eine typische Aufgabe zu Schnittstellen (Schnittpunkten) von Polynomfunktionen, bei der eine Funktion vierten Grades mit der Substitutionsmethode gelöst werden soll, könnte so aussehen: **Aufgabenstellung:** Gegeben sind die Funktionen \( f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 \) und \( g(x) = x^2 - 2 \). Berechne die Schnittpunkte der beiden Graphen. Verwende dabei die Substitutionsmethode. **Lösung:** 1. **Gleichsetzen der Funktionen:** \( f(x) = g(x) \) \( x^4 - 5x^2 + 4 = x^2 - 2 \) 2. **Umstellen:** \( x^4 - 5x^2 + 4 - x^2 + 2 = 0 \) \( x^4 - 6x^2 + 6 = 0 \) 3. **Substitution:** Setze \( y = x^2 \): \( y^2 - 6y + 6 = 0 \) 4. **Lösen der quadratischen Gleichung:** \( y_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3} \) 5. **Rücksubstitution:** \( x^2 = 3 + \sqrt{3} \) oder \( x^2 = 3 - \sqrt{3} \) Also: \( x_1 = \sqrt{3 + \sqrt{3}} \) \( x_2 = -\sqrt{3 + \sqrt{3}} \) \( x_3 = \sqrt{3 - \sqrt{3}} \) \( x_4 = -\sqrt{3 - \sqrt{3}} \) 6. **Berechnung der y-Werte:** Setze die x-Werte in \( g(x) \) ein, z.B. für \( x_1 \): \( y_1 = g(x_1) = (3 + \sqrt{3}) - 2 = 1 + \sqrt{3} \) Analog für die anderen Werte. **Antwort:** Die Schnittpunkte sind \( (\sqrt{3 + \sqrt{3}},\ 1 + \sqrt{3}) \), \( (-\sqrt{3 + \sqrt{3}},\ 1 + \sqrt{3}) \), \( (\sqrt{3 - \sqrt{3}},\ 1 - \sqrt{3}) \), \( (-\sqrt{3 - \sqrt{3}},\ 1 - \sqrt{3}) \). --- **Hinweis:** Die Substitutionsmethode ist hier das Ersetzen von \( x^2 \) durch \( y \), um die Gleichung vierten Grades auf eine quadratische Gleichung zu reduzieren.

**Aufgabenstellung:** Gegeben sind die beiden Polynomfunktionen \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \) und \( g(x) = x^2 - x + 2 \). Berechne die Schnittpunkte der beiden Funktionen mithilfe der Substitutionsmethode. --- **Lösung:** 1. **Gleichsetzen der Funktionen:** \( f(x) = g(x) \) \( x^3 - 2x^2 + x = x^2 - x + 2 \) 2. **Umstellen auf Null:** \( x^3 - 2x^2 + x - x^2 + x - 2 = 0 \) \( x^3 - 3x^2 + 2x - 2 = 0 \) 3. **Substitution:** Setze \( y = x^2 \): \( x^3 - 3x^2 + 2x - 2 = 0 \) \( x \cdot x^2 - 3x^2 + 2x - 2 = 0 \) \( x \cdot y - 3y + 2x - 2 = 0 \) Gruppiere nach \( y \): \( (x - 3)y + 2x - 2 = 0 \) Löse nach \( y \): \( (x - 3)y = 2 - 2x \) \( y = \frac{2 - 2x}{x - 3} \) Da \( y = x^2 \), setze zurück: \( x^2 = \frac{2 - 2x}{x - 3} \) 4. **Löse die Gleichung:** Multipliziere beide Seiten mit \( x - 3 \): \( x^2(x - 3) = 2 - 2x \) \( x^3 - 3x^2 + 2x - 2 = 0 \) (Das ist die ursprüngliche Gleichung, also weiter mit einer anderen Methode.) Alternativ: Versuche, die Gleichung zu faktorisieren oder mit dem Horner-Schema eine Nullstelle zu finden. 5. **Nullstellen raten (z.B. x = 1):** \( 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 - 2 = 1 - 3 + 2 - 2 = -2 \) \( x = 2 \): \( 8 - 12 + 4 - 2 = -2 \) \( x = -1 \): \( -1 - 3 + -2 - 2 = -8 \) \( x = 2 \): \( 8 - 12 + 4 - 2 = -2 \) \( x = 1 \): \( 1 - 3 + 2 - 2 = -2 \) \( x = -2 \): \( -8 - 12 - 4 - 2 = -26 \) Es scheint keine ganzzahlige Nullstelle zu geben. Versuche die Polynomdivision oder die Mitternachtsformel für quadratische Gleichungen. 6. **Alternativ: Numerische Lösung oder Näherung** Da die Gleichung keine offensichtliche rationale Nullstelle hat, kann man die Schnittpunkte näherungsweise bestimmen (z.B. mit dem Newton-Verfahren oder durch Ausprobieren). --- **Zusammenfassung:** Die Aufgabe zeigt, wie man die Schnittpunkte zweier Polynomfunktionen mit der Substitutionsmethode berechnet. Die Gleichung ist jedoch nicht einfach lösbar, sodass man in der Praxis meist auf numerische Methoden zurückgreifen muss, wenn keine offensichtlichen Nullstellen vorliegen. **Hinweis:** Für Aufgaben im Unterricht empfiehlt es sich, Funktionen zu wählen, bei denen die Gleichung nach der Substitution leichter lösbar ist (z.B. mit ganzzahligen Nullstellen).