Die dreifache Summe aus 3x und 4 wird mathematisch wie folgt ausgedrückt: 3 * (3x + 4) Das bedeutet, du multiplizierst die Summe von 3x und 4 mit 3.
Warum ist bei den geordneten Paaren (9, 72), (10, 40), (12, 24), (16, 16), (24, 12), (40, 10), (72, 9) das Produkt 8-mal so groß wie die Summe?
AntwortUm zu zeigen, dass das Produkt der geordneten Paare 8-mal so groß ist wie die Summe, betrachten wir ein beliebiges Paar \((a, b)\). Die Summe \(S\) und das Produkt \(P) der beiden Zahlen sind definiert als: \[ S = a + b \] \[ P = a \cdot b \] Die Bedingung, die erfüllt sein muss, ist: \[ P = 8 \cdot S \] Das bedeutet: \[ a \cdot b = 8 \cdot (a + b) \] Um diese Gleichung umzuformen, bringen wir alle Terme auf eine Seite: \[ a \cdot b - 8a - 8b = 0 \] Diese Gleichung kann als quadratische Gleichung in Bezug auf \(a\) oder \(b\) betrachtet werden. Um die Lösungen zu finden, können wir die Gleichung umstellen: \[ ab - 8a - 8b + 64 = 64 \] Das lässt sich als Produkt faktorisieren: \[ (a - 8)(b - 8) = 64 \] Das bedeutet, dass die Differenzen \(a - 8\) und \(b - 8\) zwei Faktoren von 64 sein müssen. Die möglichen Paare von Faktoren von 64 sind: - \(1 \cdot 64\) - \(2 \cdot 32\) - \(4 \cdot 16\) - \(8 \cdot 8\) Daraus ergeben sich die entsprechenden Werte für \(a\) und \(b\): 1. \(a - 8 = 1\) und \(b - 8 = 64 \Rightarrow (9, 72)\) 2. \(a - 8 = 2\) und \(b - 8 = 32 \Rightarrow (10, 40)\) 3. \(a - 8 = 4\) und \(b - 8 = 16 \Rightarrow (12, 24)\) 4. \(a - 8 = 8\) und \(b - 8 = 8 \Rightarrow (16, 16)\) 5. \(a - 8 = 16\) und \(b - 8 = 4 \Rightarrow (24, 12)\) 6. \(a - 8 = 32\) und \(b - 8 = 2 \Rightarrow (40, 10)\) 7. \(a - 8 = 64\) und \(b - 8 = 1 \Rightarrow (72, 9)\) Somit ist für jedes dieser Paare das Produkt tatsächlich 8-mal so groß wie die Summe.
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