Warum ist bei den geordneten Paaren (9, 72), (10, 40), (12, 24), (16, 16), (24, 12), (40, 10), (72, 9) das Produkt 8-mal so groß wie die Summe?

Um zu zeigen, dass das Produkt der geordneten Paare 8-mal so groß ist wie die Summe, betrachten wir ein beliebiges Paar \((a, b)\).

Die Summe \(S\) und das Produkt \(P) der beiden Zahlen sind definiert als:

\[
S = a + b
\]
\[
P = a \cdot b
\]

Die Bedingung, die erfüllt sein muss, ist:

\[
P = 8 \cdot S
\]

Das bedeutet:

\[
a \cdot b = 8 \cdot (a + b)
\]

Um diese Gleichung umzuformen, bringen wir alle Terme auf eine Seite:

\[
a \cdot b - 8a - 8b = 0
\]

Diese Gleichung kann als quadratische Gleichung in Bezug auf \(a\) oder \(b\) betrachtet werden. Um die Lösungen zu finden, können wir die Gleichung umstellen:

\[
ab - 8a - 8b + 64 = 64
\]

Das lässt sich als Produkt faktorisieren:

\[
(a - 8)(b - 8) = 64
\]

Das bedeutet, dass die Differenzen \(a - 8\) und \(b - 8\) zwei Faktoren von 64 sein müssen. Die möglichen Paare von Faktoren von 64 sind:

- \(1 \cdot 64\)
- \(2 \cdot 32\)
- \(4 \cdot 16\)
- \(8 \cdot 8\)

Daraus ergeben sich die entsprechenden Werte für \(a\) und \(b\):

1. \(a - 8 = 1\) und \(b - 8 = 64 \Rightarrow (9, 72)\)
2. \(a - 8 = 2\) und \(b - 8 = 32 \Rightarrow (10, 40)\)
3. \(a - 8 = 4\) und \(b - 8 = 16 \Rightarrow (12, 24)\)
4. \(a - 8 = 8\) und \(b - 8 = 8 \Rightarrow (16, 16)\)
5. \(a - 8 = 16\) und \(b - 8 = 4 \Rightarrow (24, 12)\)
6. \(a - 8 = 32\) und \(b - 8 = 2 \Rightarrow (40, 10)\)
7. \(a - 8 = 64\) und \(b - 8 = 1 \Rightarrow (72, 9)\)

Somit ist für jedes dieser Paare das Produkt tatsächlich 8-mal so groß wie die Summe.