Bei welchen geordneten Paaren natürlicher Zahlen ist das Produkt genau 8-mal so groß wie ihre Summe?

Question

Bei welchen geordneten Paaren natürlicher Zahlen ist das Produkt genau 8-mal so groß wie ihre Summe?

Antwort

Verwandte Fragen

Welche ist die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen dargestellt werden kann?

Addiere die Differenz von 88 und 65 zur Summe von 25 und 96.

Subtrahiere von der Summe von 26 und 57 die Differenz von 87 und 73. Wie lautet der Rechenausdruck und das Ergebnis?

Berechne: a) Subtrahiere von 99 die Summe von 44 und 33. b) Addiere zu 86 die Summe von 77 und 33.

Kann man mit der Summe oder Differenz von Primzahlen alle Zahlen von 0 bis 255 darstellen? Wenn ja, mit welchen Primzahlen?

Wie berechnet man das Produkt aus 4 und 70, das Produkt aus 90 und 3 sowie den zweiten Faktor, wenn das Produkt 420 und der erste Faktor 6 ist?

Welcher zweite Faktor ergibt mit 6 das Produkt 420?

Wie lautet die Summe aus sechs und sechs?

Wie schreibt man das Produkt n · (n-1) · (n-2) … (n-k+1) als Bruch mit Fakultäten (n!/(n-k)!)? Zeige alle Schritte.

Wie hängt das Produkt n(n-1)(n-2)…(n-k+1) mit n! zusammen?

Accepted Answer

Um die geordneten Paare natürlicher Zahlen \((x, y)\) zu finden, bei denen das Produkt \(xy\) genau 8-mal so groß ist wie die Summe \(x + y\), stellen wir die Gleichung auf: \[ xy = 8(x + y) \] Diese Gleichung kann umgeformt werden: \[ xy - 8x - 8y = 0 \] Um diese Gleichung zu lösen, können wir sie umstellen: \[ xy - 8x - 8y + 64 = 64 \] Das lässt sich als Produkt darstellen: \[ (x - 8)(y - 8) = 64 \] Nun müssen wir die positiven Teiler von 64 finden, da \(x\) und \(y\) natürliche Zahlen sind. Die positiven Teiler von 64 sind: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Für jeden Teiler \(d\) von 64 setzen wir \(x - 8 = d\) und \(y - 8 = \frac{64}{d}\). Daraus ergeben sich die Werte für \(x\) und \(y\): \[ x = d + 8 \] \[ y = \frac{64}{d} + 8 \] Nun berechnen wir die Paare: 1. \(d = 1\): \(x = 1 + 8 = 9\), \(y = 64 + 8 = 72\) → \((9, 72)\) 2. \(d = 2\): \(x = 2 + 8 = 10\), \(y = 32 + 8 = 40\) → \((10, 40)\) 3. \(d = 4\): \(x = 4 + 8 = 12\), \(y = 16 + 8 = 24\) → \((12, 24)\) 4. \(d = 8\): \(x = 8 + 8 = 16\), \(y = 8 + 8 = 16\) → \((16, 16)\) 5. \(d = 16\): \(x = 16 + 8 = 24\), \(y = 4 + 8 = 12\) → \((24, 12)\) 6. \(d = 32\): \(x = 32 + 8 = 40\), \(y = 2 + 8 = 10\) → \((40, 10)\) 7. \(d = 64\): \(x = 64 + 8 = 72\), \(y = 1 + 8 = 9\) → \((72, 9)\) Die geordneten Paare natürlicher Zahlen, bei denen das Produkt genau 8-mal so groß ist wie die Summe, sind also: \((9, 72), (10, 40), (12, 24), (16, 16), (24, 12), (40, 10), (72, 9)\).

Accepted Answer

Gesucht ist die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen geschrieben werden kann. Bezeichne die drei aufeinanderfolgenden Zahlen als \( n-1 \), \( n \), \( n+1 \). D... [mehr]

Accepted Answer

Gesucht ist die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen geschrieben werden kann. Bezeichne die drei aufeinanderfolgenden Zahlen als \( n-1 \), \( n \), \( n+1 \). Deren Quadrate sind: \[ (n-1)^2, \quad n^2, \quad (n+1)^2 \] Die Summe ist: \[ (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = (n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) \] \[ = n^2 - 2n + 1 + n^2 + n^2 + 2n + 1 \] \[ = 3n^2 + 2 \] Nun suchen wir die kleinste Primzahl, die sich als \( 3n^2 + 2 \) schreiben lässt. Setze n = 1: \[ 3 \cdot 1^2 + 2 = 3 + 2 = 5 \quad \text{(Primzahl)} \] Setze n = 2: \[ 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14 \quad \text{(keine Primzahl)} \] Setze n = 3: \[ 3 \cdot 9 + 2 = 27 + 2 = 29 \quad \text{(Primzahl)} \] Die kleinste ist also **5**. **Antwort:** Die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen geschrieben werden kann, ist **5**.

Accepted Answer

Der Rechenausdruck lautet: (88 - 65) + (25 + 96) Berechnung: 88 - 65 = 23 25 + 96 = 121 Nun addieren: 23 + 121 = 144 Das Ergebnis ist **144**.

Accepted Answer

Der Rechenausdruck lautet: (88 - 65) + (25 + 96) Berechnung: 88 - 65 = 23 25 + 96 = 121 Nun addieren: 23 + 121 = 144 Das Ergebnis ist **144**.

Kategorie: Mathematik Tags: Addition Differenz Summe

Accepted Answer

Der Rechenausdruck lautet: (26 + 57) – (87 – 73) Nun berechnen wir Schritt für Schritt: 1. 26 + 57 = 83 2. 87 – 73 = 14 3. 83 – 14 = 69 Das Ergebnis ist **69**.

Accepted Answer

Der Rechenausdruck lautet: (26 + 57) – (87 – 73) Nun berechnen wir Schritt für Schritt: 1. 26 + 57 = 83 2. 87 – 73 = 14 3. 83 – 14 = 69 Das Ergebnis ist **69**.

Kategorie: Mathematik Tags: Summe Differenz Berechnung

Accepted Answer

a) Rechenausdruck: 99 – (44 + 33) Berechnung: 99 – (44 + 33) = 99 – 77 = **22** b) Rechenausdruck: 86 + (77 + 33) Berechnung: 86 + (77 + 33) = 86 + 110 = **196**

Accepted Answer

a) Rechenausdruck: 99 – (44 + 33) Berechnung: 99 – (44 + 33) = 99 – 77 = **22** b) Rechenausdruck: 86 + (77 + 33) Berechnung: 86 + (77 + 33) = 86 + 110 = **196**

Accepted Answer

Die Frage ist, ob man mit der **Summe oder Differenz von Primzahlen** alle Zahlen von **0 bis 255** darstellen kann – und falls ja, mit welchen Primzahlen. ### Analyse - **Primzahlen** sind na... [mehr]

Accepted Answer

Die Frage ist, ob man mit der **Summe oder Differenz von Primzahlen** alle Zahlen von **0 bis 255** darstellen kann – und falls ja, mit welchen Primzahlen. ### Analyse - **Primzahlen** sind natürliche Zahlen größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. - **Summe oder Differenz** bedeutet, dass du beliebig viele Primzahlen addieren oder subtrahieren darfst, um eine Zielzahl zu erhalten. - Es ist nicht spezifiziert, wie oft jede Primzahl verwendet werden darf (also beliebig oft). ### Mathematischer Hintergrund Das Problem ähnelt dem der **Darstellung von Zahlen durch lineare Kombinationen** von Primzahlen mit den Koeffizienten +1, -1 und 0. #### Beispiel Nehmen wir die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251. Das sind alle Primzahlen bis 251 (die größte Primzahl ≤ 255). ### Konkrete Überlegung - **Mit nur Summen**: Nicht jede Zahl ist als Summe von Primzahlen darstellbar (z.B. 1). - **Mit Summen und Differenzen**: Du kannst auch negative Zahlen erzeugen und so flexibler kombinieren. #### Theoretische Überlegung Wenn du **alle Primzahlen bis 251** verwendest und jede beliebig oft mit + oder - kombinierst, kannst du jede Zahl zwischen **-Summe(alle Primzahlen bis 251)** und **+Summe(alle Primzahlen bis 251)** darstellen. Das ist ein sehr großer Bereich, der die Zahlen von 0 bis 255 locker abdeckt. #### Praktische Überlegung - **Mit den Primzahlen 2 und 3**: Du kannst z.B. 1 = 3 - 2, 2 = 2, 3 = 3, 4 = 2 + 2, 5 = 2 + 3, usw. Aber nicht jede Zahl ist so darstellbar. - **Mit mehr Primzahlen**: Je mehr Primzahlen du hast, desto mehr Kombinationen sind möglich. ### Fazit **Ja, mit der Summe und Differenz aller Primzahlen bis 251 kannst du jede Zahl von 0 bis 255 darstellen.** Das liegt daran, dass du mit genügend Primzahlen und der Möglichkeit, sie zu addieren oder zu subtrahieren, jede Zahl in diesem Bereich erreichen kannst. #### Die benötigten Primzahlen sind: **Alle Primzahlen ≤ 251** (Liste siehe oben oder z.B. [hier](https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_Primzahlen)). #### Hinweis - Wenn du die Anzahl der verwendeten Primzahlen einschränkst oder jede nur einmal verwenden darfst, wird das Problem schwieriger und ist nicht immer möglich. - Mit beliebig vielen Summen und Differenzen ist es aber möglich. --- **Zusammenfassung:** Mit der Summe und Differenz aller Primzahlen bis 251 kannst du jede Zahl von 0 bis 255 darstellen. Die benötigten Primzahlen sind alle Primzahlen ≤ 251.

Accepted Answer

A) 4 mal 70 ergibt 280. Das Produkt heißt 280. B) 90 mal 3 ergibt 270. Das Produkt ist 270. C) Das Produkt ist 420, der erste Faktor ist 6. Der zweite Faktor ist 420 geteilt durch 6 also 70.

Accepted Answer

A) 4 mal 70 ergibt 280. Das Produkt heißt 280. B) 90 mal 3 ergibt 270. Das Produkt ist 270. C) Das Produkt ist 420, der erste Faktor ist 6. Der zweite Faktor ist 420 geteilt durch 6 also 70.

Kategorie: Mathematik Tags: Produkt Multiplikation Faktor

Accepted Answer

Gegeben ist das Produkt 420 und der erste Faktor 6. Gesucht ist der zweite Faktor. Rechnung: \( 6 \times ? = 420 \) Um den zweiten Faktor zu berechnen, teilst du das Produkt durch den ersten Faktor:... [mehr]

Accepted Answer

Gegeben ist das Produkt 420 und der erste Faktor 6. Gesucht ist der zweite Faktor. Rechnung: \( 6 \times ? = 420 \) Um den zweiten Faktor zu berechnen, teilst du das Produkt durch den ersten Faktor: \( ? = \frac{420}{6} = 70 \) **Lösung:** Der zweite Faktor ist **70**.

Accepted Answer

Die Summe aus sechs und sechs ist zwölf.

Accepted Answer

Die Summe aus sechs und sechs ist zwölf.

Kategorie: Mathematik Tags: Summe Addition Sechs

Accepted Answer

Gegeben ist der Term: \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \] Du möchtest zeigen, wie man diesen Term als \(\frac{n!}{(n-k)!}\) schreiben kann. Hier sind die Schritte: --- **1. Schreib... [mehr]

Accepted Answer

Gegeben ist der Term: \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \] Du möchtest zeigen, wie man diesen Term als \(\frac{n!}{(n-k)!}\) schreiben kann. Hier sind die Schritte: --- **1. Schreibe die Produktform explizit aus:** \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \] Das sind genau \(k\) Faktoren, beginnend bei \(n\) und jeweils um 1 kleiner werdend, bis zum Term \(n-k+1\). --- **2. Schreibe die Fakultät \(n!\) aus:** \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \] --- **3. Schreibe die Fakultät \((n-k)!\) aus:** \[ (n-k)! = (n-k) \cdot (n-k-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \] --- **4. Schreibe den Bruch \(\frac{n!}{(n-k)!}\) aus:** \[ \frac{n!}{(n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \cdot (n-k) \cdots 1}{(n-k) \cdot (n-k-1) \cdots 1} \] --- **5. Kürze die gemeinsamen Faktoren:** Im Zähler und Nenner stehen die Faktoren \((n-k) \cdot (n-k-1) \cdots 1\). Diese kürzen sich heraus: \[ \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \cdot \cancel{(n-k) \cdots 1}}{\cancel{(n-k) \cdots 1}} \] --- **6. Übrig bleibt:** \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \] --- **Fazit:** \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \] Das ist die gesuchte Umformung.

Accepted Answer

Der Ausdruck \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) ist das Produkt der \( k \) aufeinanderfolgenden Zahlen von \( n \) abwärts. Das ist genau die Anzahl der Möglichkeite... [mehr]

Accepted Answer

Der Ausdruck \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) ist das Produkt der \( k \) aufeinanderfolgenden Zahlen von \( n \) abwärts. Das ist genau die Anzahl der Möglichkeiten, \( k \) verschiedene Objekte aus \( n \) zu ziehen, wobei die Reihenfolge wichtig ist (Variationen ohne Zurücklegen). Der Ausdruck \( n! \) (gesprochen: „n Fakultät“) ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von \( n \) abwärts bis 1: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \] Um von \( n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) auf \( n! \) zu kommen, multiplizierst du einfach die restlichen Faktoren bis 1 dazu. Das heißt: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \] Oder anders geschrieben: \[ n! = [n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)] \cdot (n-k)! \] Daraus folgt: \[ n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \] Das ist die Formel für die Anzahl der Permutationen von \( k \) aus \( n \) Elementen. **Zusammengefasst:** Du kommst auf \( n! \), indem du zu deinem Produkt die restlichen Faktoren bis 1 dazunimmst. Das Produkt bis \( (n-k+1) \) ist also ein Teil von \( n! \).

Bei welchen geordneten Paaren natürlicher Zahlen ist das Produkt genau 8-mal so groß wie ihre Summe?

Verwandte Fragen

Welche ist die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen dargestellt werden kann?

Addiere die Differenz von 88 und 65 zur Summe von 25 und 96.

Subtrahiere von der Summe von 26 und 57 die Differenz von 87 und 73. Wie lautet der Rechenausdruck und das Ergebnis?

Berechne: a) Subtrahiere von 99 die Summe von 44 und 33. b) Addiere zu 86 die Summe von 77 und 33.

Kann man mit der Summe oder Differenz von Primzahlen alle Zahlen von 0 bis 255 darstellen? Wenn ja, mit welchen Primzahlen?

Wie berechnet man das Produkt aus 4 und 70, das Produkt aus 90 und 3 sowie den zweiten Faktor, wenn das Produkt 420 und der erste Faktor 6 ist?

Welcher zweite Faktor ergibt mit 6 das Produkt 420?

Wie lautet die Summe aus sechs und sechs?

Wie schreibt man das Produkt n · (n-1) · (n-2) … (n-k+1) als Bruch mit Fakultäten (n!/(n-k)!)? Zeige alle Schritte.

Wie hängt das Produkt n*(n-1)*(n-2)*…*(n-k+1) mit n! zusammen?

Wie schreibt man das Produkt n · (n-1) · (n-2) … (n-k+1) als Bruch mit Fakultäten (n!/(n-k)!)? Zeige alle Schritte.

Wie hängt das Produkt n(n-1)(n-2)…(n-k+1) mit n! zusammen?