Bei welchen geordneten Paaren natürlicher Zahlen ist das Produkt genau 8-mal so groß wie ihre Summe?

Um die geordneten Paare natürlicher Zahlen \((x, y)\) zu finden, bei denen das Produkt \(xy\) genau 8-mal so groß ist wie die Summe \(x + y\), stellen wir die Gleichung auf:

\[
xy = 8(x + y)
\]

Diese Gleichung kann umgeformt werden:

\[
xy - 8x - 8y = 0
\]

Um diese Gleichung zu lösen, können wir sie umstellen:

\[
xy - 8x - 8y + 64 = 64
\]

Das lässt sich als Produkt darstellen:

\[
(x - 8)(y - 8) = 64
\]

Nun müssen wir die positiven Teiler von 64 finden, da \(x\) und \(y\) natürliche Zahlen sind. Die positiven Teiler von 64 sind: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.

Für jeden Teiler \(d\) von 64 setzen wir \(x - 8 = d\) und \(y - 8 = \frac{64}{d}\). Daraus ergeben sich die Werte für \(x\) und \(y\):

\[
x = d + 8
\]
\[
y = \frac{64}{d} + 8
\]

Nun berechnen wir die Paare:

1. \(d = 1\): \(x = 1 + 8 = 9\), \(y = 64 + 8 = 72\) → \((9, 72)\)
2. \(d = 2\): \(x = 2 + 8 = 10\), \(y = 32 + 8 = 40\) → \((10, 40)\)
3. \(d = 4\): \(x = 4 + 8 = 12\), \(y = 16 + 8 = 24\) → \((12, 24)\)
4. \(d = 8\): \(x = 8 + 8 = 16\), \(y = 8 + 8 = 16\) → \((16, 16)\)
5. \(d = 16\): \(x = 16 + 8 = 24\), \(y = 4 + 8 = 12\) → \((24, 12)\)
6. \(d = 32\): \(x = 32 + 8 = 40\), \(y = 2 + 8 = 10\) → \((40, 10)\)
7. \(d = 64\): \(x = 64 + 8 = 72\), \(y = 1 + 8 = 9\) → \((72, 9)\)

Die geordneten Paare natürlicher Zahlen, bei denen das Produkt genau 8-mal so groß ist wie die Summe, sind also:

\((9, 72), (10, 40), (12, 24), (16, 16), (24, 12), (40, 10), (72, 9)\).