Warum hat ein Polyeder k=3f-6 Kanten?

Die Beziehung \( k = 3f - 6 \) für ein Polyeder bezieht sich auf die Anzahl der Kanten (\( k \)) und die Anzahl der Flächen (\( f \)) eines Polyeders. Diese Formel gilt speziell für konvexe Polyeder und kann aus der Eulerschen Polyederformel und der Tatsache, dass jede Kante zwei Flächen teilt, abgeleitet werden.

Die Eulersche Polyederformel lautet:
\[ v - k + f = 2 \]
wobei \( v \) die Anzahl der Ecken, \( k \) die Anzahl der Kanten und \( f \) die Anzahl der Flächen ist.

Für ein konvexes Polyeder gilt außerdem, dass jede Kante zwei Flächen teilt und jede Fläche im Durchschnitt drei Kanten hat (dies ist eine Annahme, die für viele konvexe Polyeder zutrifft, insbesondere für solche, die nur Dreiecksflächen haben). Daraus folgt:
\[ 2k = 3f \]
weil jede Kante zu zwei Flächen gehört und jede Fläche im Durchschnitt drei Kanten hat.

Diese Gleichung kann umgestellt werden zu:
\[ k = \frac{3f}{2} \]

Wenn man diese Beziehung in die Eulersche Formel einsetzt, erhält man:
\[ v - \frac{3f}{2} + f = 2 \]

Um diese Gleichung zu lösen, multipliziert man alle Terme mit 2, um die Brüche zu eliminieren:
\[ 2v - 3f + 2f = 4 \]
\[ 2v - f = 4 \]
\[ f = 2v - 4 \]

Nun kann man diese Beziehung in die ursprüngliche Gleichung \( k = \frac{3f}{2} \) einsetzen:
\[ k = \frac{3(2v - 4)}{2} \]
\[ k = 3v - 6 \]

Da \( v \) und \( f \) in einer festen Beziehung zueinander stehen, kann man die Anzahl der Kanten \( k \) auch direkt in Bezug auf die Anzahl der Flächen \( f \) ausdrücken:
\[ k = 3f - 6 \]

Diese Beziehung zeigt, dass die Anzahl der Kanten eines konvexen Polyeders in direktem Zusammenhang mit der Anzahl der Flächen steht.