Finde geordnete Paare natürlicher Zahlen, deren Produkt 8-mal so groß wie ihre Summe ist.

Um die geordneten Paare natürlicher Zahlen \( (x, y) \) zu finden, die die Bedingung \( xy = 8(x + y) \) erfüllen, können wir die Gleichung umstellen.

1. Beginne mit der Gleichung:
\[
xy = 8(x + y)
\]

2. Bringe alle Terme auf eine Seite:
\[
xy - 8x - 8y = 0
\]

3. Füge \( 64 \) zu beiden Seiten hinzu, um die Gleichung faktorisierbar zu machen:
\[
xy - 8x - 8y + 64 = 64
\]

4. Faktorisieren der linken Seite:
\[
(x - 8)(y - 8) = 64
\]

Jetzt müssen wir die natürlichen Zahlen \( x \) und \( y \) finden, die diese Gleichung erfüllen. Dazu betrachten wir die positiven Teiler von \( 64 \).

Die positiven Teiler von \( 64 \) sind: \( 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 \).

Für jeden Teiler \( d \) setzen wir \( x - 8 = d \) und \( y - 8 = \frac{64}{d} \). Daraus ergeben sich die Werte für \( x \) und \( y \):

\[
x = d + 8
\]
\[
y = \frac{64}{d} + 8
\]

Nun berechnen wir die Paare:

1. Für \( d = 1 \):
\[
x = 1 + 8 = 9, \quad y = \frac{64}{1} + 8 = 72 \quad \Rightarrow (9, 72)
\]

2. Für \( d = 2 \):
\[
x = 2 + 8 = 10, \quad y = \frac{64}{2} + 8 = 40 \quad \Rightarrow (10, 40)
\]

3. Für \( d = 4 \):
\[
x = 4 + 8 = 12, \quad y = \frac{64}{4} + 8 = 24 \quad \Rightarrow (12, 24)
\]

4. Für \( d = 8 \):
\[
x = 8 + 8 = 16, \quad y = \frac{64}{8} + 8 = 16 \quad \Rightarrow (16, 16)
\]

5. Für \( d = 16 \):
\[
x = 16 + 8 = 24, \quad y = \frac{64}{16} + 8 = 16 \quad \Rightarrow (24, 16)
\]

6. Für \( d = 32 \):
\[
x = 32 + 8 = 40, \quad y = \frac{64}{32} + 8 = 10 \quad \Rightarrow (40, 10)
\]

7. Für \( d = 64 \):
\[
x = 64 + 8 = 72, \quad y = \frac{64}{64} + 8 = 9 \quad \Rightarrow (72, 9)
\]

Die geordneten Paare natürlicher Zahlen \( (x, y) \), deren Produkt genau 8-mal so groß wie ihre Summe ist, sind:
\[
(9, 72), (10, 40), (12, 24), (16, 16), (24, 16), (40, 10), (72, 9)
\]