Finde geordnete Paare natürlicher Zahlen größer als 0, deren Produkt 8-mal so groß ist wie ihre Summe.

Um die geordneten Paare natürlicher Zahlen \( (x, y) \) zu finden, deren Produkt \( xy \) genau 8-mal so groß ist wie ihre Summe \( x + y \), stellen wir die Gleichung auf:

\[
xy = 8(x + y)
\]

Diese Gleichung kann umgeformt werden:

\[
xy - 8x - 8y = 0
\]

Um diese Gleichung zu lösen, fügen wir \( 64 \) zu beiden Seiten hinzu:

\[
xy - 8x - 8y + 64 = 64
\]

Nun können wir die linke Seite als Produkt faktorisieren:

\[
(x - 8)(y - 8) = 64
\]

Jetzt müssen wir die positiven Teiler von \( 64 \) finden, da \( x - 8 \) und \( y - 8 \) natürliche Zahlen sein müssen. Die positiven Teiler von \( 64 \) sind:

\[
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
\]

Für jeden Teiler \( d \) setzen wir \( x - 8 = d \) und \( y - 8 = \frac{64}{d} \). Daraus ergeben sich die Werte für \( x \) und \( y \):

\[
x = d + 8
\]
\[
y = \frac{64}{d} + 8
\]

Nun berechnen wir die geordneten Paare \( (x, y) \):

1. Für \( d = 1 \):
- \( x = 1 + 8 = 9 \)
- \( y = \frac{64}{1} + 8 = 72 \)
- Paar: \( (9, 72) \)

2. Für \( d = 2 \):
- \( x = 2 + 8 = 10 \)
- \( y = \frac{64}{2} + 8 = 40 \)
- Paar: \( (10, 40) \)

3. Für \( d = 4 \):
- \( x = 4 + 8 = 12 \)
- \( y = \frac{64}{4} + 8 = 24 \)
- Paar: \( (12, 24) \)

4. Für \( d = 8 \):
- \( x = 8 + 8 = 16 \)
- \( y = \frac{64}{8} + 8 = 16 \)
- Paar: \( (16, 16) \)

5. Für \( d = 16 \):
- \( x = 16 + 8 = 24 \)
- \( y = \frac{64}{16} + 8 = 16 \)
- Paar: \( (24, 16) \)

6. Für \( d = 32 \):
- \( x = 32 + 8 = 40 \)
- \( y = \frac{64}{32} + 8 = 10 \)
- Paar: \( (40, 10) \)

7. Für \( d = 64 \):
- \( x = 64 + 8 = 72 \)
- \( y = \frac{64}{64} + 8 = 9 \)
- Paar: \( (72, 9) \)

Die geordneten Paare natürlicher Zahlen \( (x, y) \), deren Produkt genau 8-mal so groß ist wie ihre Summe, sind:

\[
(9, 72), (10, 40), (12, 24), (16, 16), (24, 16), (40, 10), (72, 9)
\]