Was ist eine Normierung von Wahrscheinlichkeitsmaßen?

Die Normierung von Wahrscheinlichkeitsmaßen bezieht sich auf die Eigenschaft, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit des gesamten Ereignisraums gleich 1 ist. In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß eine Funktion, die jedem Ereignis in einem Ereignisraum eine Wahrscheinlichkeit zuordnet. Damit diese Funktion ein gültiges Wahrscheinlichkeitsmaß ist, muss sie die folgenden Bedingungen erfüllen:

1. **Nicht-Negativität**: Für jedes Ereignis \( A \) im Ereignisraum ist die Wahrscheinlichkeit \( P(A) \) nicht negativ, d.h., \( P(A) \geq 0 \).
2. **Normierung**: Die Wahrscheinlichkeit des gesamten Ereignisraums \( \Omega \) ist 1, d.h., \( P(\Omega) = 1 \).
3. **Additivität**: Für jede abzählbare Folge von paarweise disjunkten Ereignissen \( A_1, A_2, A_3, \ldots \) gilt, dass die Wahrscheinlichkeit ihrer Vereinigung gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten ist, d.h., \( P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) \).

Die Normierung stellt sicher, dass die Wahrscheinlichkeiten konsistent und sinnvoll sind, indem sie garantieren, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments 1 beträgt.