Eine natürliche Zahl ist um 11 größer als eine andere. Die Summe der Quadrate der Zahlen ergibt 745.

Sei die kleinere natürliche Zahl \( x \). Dann ist die größere Zahl \( x + 11 \). Die Gleichung für die Summe der Quadrate lautet:

\[
x^2 + (x + 11)^2 = 745
\]

Das Quadrat der größeren Zahl ausmultipliziert ergibt:

\[
x^2 + (x^2 + 22x + 121) = 745
\]

Das vereinfacht sich zu:

\[
2x^2 + 22x + 121 = 745
\]

Subtrahiere 745 von beiden Seiten:

\[
2x^2 + 22x + 121 - 745 = 0
\]

Das vereinfacht sich zu:

\[
2x^2 + 22x - 624 = 0
\]

Teile die gesamte Gleichung durch 2:

\[
x^2 + 11x - 312 = 0
\]

Nun kannst du die Mitternachtsformel (Quadratische Formel) anwenden, um \( x \) zu finden:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Hier ist \( a = 1 \), \( b = 11 \) und \( c = -312 \):

\[
x = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-312)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 1248}}{2}
\]
\[
x = \frac{-11 \pm \sqrt{1369}}{2}
\]
\[
x = \frac{-11 \pm 37}{2}
\]

Das ergibt zwei mögliche Lösungen:

1. \( x = \frac{26}{2} = 13 \)
2. \( x = \frac{-48}{2} = -24 \) (nicht relevant, da wir nur natürliche Zahlen betrachten)

Die kleinere Zahl ist also \( 13 \) und die größere Zahl ist \( 13 + 11 = 24 \).

Die beiden Zahlen sind 13 und 24.