Eine natürliche Zahl ist um 11 größer als eine andere. Die Summe der Quadrate der Zahlen ergibt 745.

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Sei die kleinere natürliche Zahl \( x \). Dann ist die größere Zahl \( x + 11 \). Die Gleichung für die Summe der Quadrate lautet: \[ x^2 + (x + 11)^2 = 745 \] Das Quadrat der größeren Zahl ausmultipliziert ergibt: \[ x^2 + (x^2 + 22x + 121) = 745 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 2x^2 + 22x + 121 = 745 \] Subtrahiere 745 von beiden Seiten: \[ 2x^2 + 22x + 121 - 745 = 0 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 2x^2 + 22x - 624 = 0 \] Teile die gesamte Gleichung durch 2: \[ x^2 + 11x - 312 = 0 \] Nun kannst du die Mitternachtsformel (Quadratische Formel) anwenden, um \( x \) zu finden: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \( a = 1 \), \( b = 11 \) und \( c = -312 \): \[ x = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-312)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 1248}}{2} \] \[ x = \frac{-11 \pm \sqrt{1369}}{2} \] \[ x = \frac{-11 \pm 37}{2} \] Das ergibt zwei mögliche Lösungen: 1. \( x = \frac{26}{2} = 13 \) 2. \( x = \frac{-48}{2} = -24 \) (nicht relevant, da wir nur natürliche Zahlen betrachten) Die kleinere Zahl ist also \( 13 \) und die größere Zahl ist \( 13 + 11 = 24 \). Die beiden Zahlen sind 13 und 24.

Kategorie: Mathematik Tags: Zahlen Quadrate Summe

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