Bestimme das Maximum der Funktion S(t) = 160 × e^(0,25t) - 10 × e^(0,5t)?

Um das Maximum der Funktion \( S(t) = 160 \cdot e^{0,25t} - 10 \cdot e^{0,5t} \) zu bestimmen, musst du die Ableitung der Funktion berechnen und dann die kritischen Punkte finden, bei denen die Ableitung gleich null ist. Anschließend überprüfst du diese Punkte, um festzustellen, ob es sich um ein Maximum handelt.

1. **Ableitung der Funktion berechnen:**

\( S(t) = 160 \cdot e^{0,25t} - 10 \cdot e^{0,5t} \)

Die Ableitung \( S'(t) \) ist:

\( S'(t) = 160 \cdot 0,25 \cdot e^{0,25t} - 10 \cdot 0,5 \cdot e^{0,5t} \)

\( S'(t) = 40 \cdot e^{0,25t} - 5 \cdot e^{0,5t} \)

2. **Kritische Punkte finden:**

Setze die Ableitung gleich null und löse nach \( t \) auf:

\( 40 \cdot e^{0,25t} - 5 \cdot e^{0,5t} = 0 \)

Teile durch 5:

\( 8 \cdot e^{0,25t} = e^{0,5t} \)

Schreibe \( e^{0,5t} \) als \( (e^{0,25t})^2 \):

\( 8 \cdot e^{0,25t} = (e^{0,25t})^2 \)

Setze \( u = e^{0,25t} \):

\( 8u = u^2 \)

\( u^2 - 8u = 0 \)

\( u(u - 8) = 0 \)

Also \( u = 0 \) oder \( u = 8 \).

Da \( u = e^{0,25t} \) und \( e^{0,25t} \neq 0 \), bleibt:

\( e^{0,25t} = 8 \)

Nimm den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten:

\( 0,25t = \ln(8) \)

\( t = \frac{\ln(8)}{0,25} \)

\( t = 4 \ln(2) \)

3. **Überprüfen, ob es sich um ein Maximum handelt:**

Berechne die zweite Ableitung \( S''(t) \):

\( S''(t) = 40 \cdot 0,25 \cdot e^{0,25t} - 5 \cdot 0,5 \cdot e^{0,5t} \)

\( S''(t) = 10 \cdot e^{0,25t} - 2,5 \cdot e^{0,5t} \)

Setze \( t = 4 \ln(2) \) in \( S''(t) \) ein:

\( S''(4 \ln(2)) = 10 \cdot e^{0,25 \cdot 4 \ln(2)} - 2,5 \cdot e^{0,5 \cdot 4 \ln(2)} \)

\( S''(4 \ln(2)) = 10 \cdot e^{\ln(2)} - 2,5 \cdot e^{2 \ln(2)} \)

\( S''(4 \ln(2)) = 10 \cdot 2 - 2,5 \cdot 4 \)

\( S''(4 \ln(2)) = 20 - 10 = 10 \)

Da \( S''(4 \ln(2)) > 0 \), handelt es sich um ein Minimum und nicht um ein Maximum.

Da die Funktion nur ein Minimum hat und keine weiteren kritischen Punkte existieren, muss das Maximum an den Rändern des Definitionsbereichs liegen. Da exponentielle Funktionen für große negative \( t \) gegen null gehen und für große positive \( t \) gegen unendlich, ist das Maximum der Funktion nicht beschränkt und geht gegen unendlich für \( t \to \infty \).