\(e^{\ln(b)} = b\) — aber nur für \(b>0\), weil \(\ln(b)\) nur für positive reelle Zahlen definiert ist.
Wie löse ich die Gleichung 3^6x-7 + 9^3x-4 + 27^2x-4 = 325?
Antwort vomUm die Gleichung \( 3^{6x-7} + 9^{3x-4} + 27^{2x-4} = 325 \) zu lösen, kannst du die Potenzen umformen. Beachte, dass \( 9 \) und \( 27 \) als Potenzen von \( 3 \) geschrieben werden können: 1. Schreibe \( 9 \) als \( 3^2 \) und \( 27 \) als \( 3^3 \): - \( 9^{3x-4} = (3^2)^{3x-4} = 3^{2(3x-4)} = 3^{6x-8} \) - \( 27^{2x-4} = (3^3)^{2x-4} = 3^{3(2x-4)} = 3^{6x-12} \) 2. Setze die umgeschriebenen Potenzen in die Gleichung ein: \[ 3^{6x-7} + 3^{6x-8} + 3^{6x-12} = 325 \] 3. Fasse die Terme zusammen. Setze \( y = 3^{6x-12} \): - Dann ist \( 3^{6x-7} = 3^5 \cdot y = 243y \) - \( 3^{6x-8} = 3^4 \cdot y = 81y \) 4. Die Gleichung wird zu: \[ 243y + 81y + y = 325 \] \[ 325y = 325 \] 5. Teile beide Seiten durch \( 325 \): \[ y = 1 \] 6. Setze \( y \) zurück in die ursprüngliche Form: \[ 3^{6x-12} = 1 \] 7. Da \( 3^0 = 1 \), folgt: \[ 6x - 12 = 0 \] 8. Löse nach \( x \) auf: \[ 6x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] Die Lösung der Gleichung ist also \( x = 2 \).
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