Was ist die Linearfaktorzerlegung und die Nullstelle von S(-4 und 0)?

Question

Was ist die Linearfaktorzerlegung und die Nullstelle von S(-4 und 0)?

Antwort

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Warum wächst e^x schneller als x^n?

Bestimme die Nullstelle von f(x) = 4 - 7x.

Bestimme die Nullstelle von f(x) = 2x - 4.

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Die Linearfaktorzerlegung ist eine Methode zur Darstellung eines Polynoms Produkt von Linearfaktoren. einem Polynom \( P(x) \) mit Nullstellen \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) kann es in der Form geschrieben werden: \[ P(x) = a \cdot ( - x_1)(x - x_2) \ldots (x - x_n) \] wobei \( a \) ein Koeffizient ist. Wenn du die Nullstellen \( S(-4) \) und \( S(0) \) hast, bedeutet das, dass das Polynom bei \( x = -4 \) und \( x = 0 \) den Wert 0 annimmt. Die entsprechenden Linearfaktoren wären also: \[ (x + 4) \quad \text{und} \quad x \] Das Polynom könnte dann in der einfachsten Form wie folgt aussehen: \[ P(x) = a \cdot (x + 4) \cdot x \] Hierbei ist \( a \) ein beliebiger Koeffizient, der den Grad und die Form des Polynoms bestimmt. Wenn \( a = 1 \) ist, wäre das Polynom: \[ P(x) = x(x + 4) = x^2 + 4x \] Die Nullstellen sind also \( -4 \) und \( 0 \).

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Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadra... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \[ x = \pm \sqrt{1,5} \] Die Nullstellen sind also: \[ x = \sqrt{1,5} \quad \text{und} \quad x = -\sqrt{1,5} \] Das ergibt die ungefähren Werte: \[ x \approx 1,22 \quad \text{und} \quad x \approx -1,22 \] Somit sind die Nullstellen von \( h(x) \) bei \( x \approx 1,22 \) und \( x \approx -1,22 \).

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Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = \frac{ab}{(x+b)^2} \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ \frac{ab}{(x+b)^2} = 0 \] Eine Bruchgleichung ist genau dann null, wenn der Zä... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = \frac{ab}{(x+b)^2} \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ \frac{ab}{(x+b)^2} = 0 \] Eine Bruchgleichung ist genau dann null, wenn der Zähler null ist (vorausgesetzt, der Nenner ist nicht null). Daher setzen wir den Zähler gleich null: \[ ab = 0 \] Das bedeutet, dass entweder \( a = 0 \) oder \( b = 0 \) sein muss, um eine Nullstelle zu haben. Beachte, dass der Nenner \( (x+b)^2 \) niemals null sein kann, solange \( x \neq -b \). Daher gibt es keine Nullstelle in der Funktion, solange \( a \) und \( b \) nicht gleich null sind. Zusammenfassend: Die Nullstelle der Funktion existiert nur, wenn \( a = 0 \) oder \( b = 0 \).

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Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = (x - 1) - \ln(x) \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ f(x) = 0 \implies (x - 1) - \ln(x) = 0 \] Das vereinfacht sich zu: \[ x - 1 = \ln(x) \... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = (x - 1) - \ln(x) \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ f(x) = 0 \implies (x - 1) - \ln(x) = 0 \] Das vereinfacht sich zu: \[ x - 1 = \ln(x) \] Diese Gleichung kann nicht analytisch gelöst werden, daher ist es sinnvoll, numerische Methoden oder grafische Verfahren zu verwenden, um die Nullstelle zu finden. Eine Möglichkeit ist, die Funktion \( g(x) = x - 1 - \ln(x) \) zu betrachten und deren Werte an verschiedenen Stellen zu berechnen: - Für \( x = 1 \): \[ g(1) = 1 - 1 - \ln(1) = 0 \] - Für \( x = 2 \): \[ g(2) = 2 - 1 - \ln(2) \approx 1 - 0.693 = 0.307 \] - Für \( x = 0.5 \): \[ g(0.5) = 0.5 - 1 - \ln(0.5) \approx -0.5 + 0.693 = 0.193 \] Da \( g(1) = 0 \), ist \( x = 1 \) eine Nullstelle der Funktion \( f(x) \). Zusammenfassend ist die Nullstelle von \( f(x) \) bei \( x = 1 \).

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Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(... [mehr]

Accepted Answer

Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(4) = 24 16 = 40 \] 2. Berechne dann \( -2a - a^5 \): \[ -2(2) - (2^5) = -4 - 32 = -36 \] 3. Setze die Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck ein: \[ (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) = 40 \cdot (-36) = -1440 \] Die Probe für \( a = 2 \) ergibt also \( -1440 \).

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Die Funktion \( e^x \) wächst schneller als jede Polynomfunktion \( x^n \) (wobei \( n \) eine positive ganze Zahl ist), die Exponentialfunktion eineante Wachstumsrate hat, die unabhängig vo... [mehr]

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Die Funktion \( e^x \) wächst schneller als jede Polynomfunktion \( x^n \) (wobei \( n \) eine positive ganze Zahl ist), die Exponentialfunktion eineante Wachstumsrate hat, die unabhängig von \( x \) ist Mathematisch lässt sich dies durch den Vergleich der Ableitungen zeigen. Die Ableitung von \( e^x \) ist \( e^x \), während die Ableitung von \( x^n \) \( n \cdot x^{n-1} \) ist. Für große Werte von \( x \) wird \( e^x \) also immer größer als \( x^n \), da die Wachstumsrate von \( e^x \) exponentiell ist, während die Wachstumsrate von \( x^n \) polynomial bleibt. Ein weiterer Weg, dies zu zeigen, ist der L'Hôpital'sche Regel, die besagt, dass der Grenzwert des Verhältnisses zweier Funktionen, wenn beide gegen unendlich gehen, durch die Ableitungen dieser Funktionen bestimmt werden kann. Wenn man den Grenzwert von \( \frac{x^n}{e^x} \) für \( x \to \infty \) betrachtet, erhält man: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \] Das bedeutet, dass \( e^x \) viel schneller wächst als \( x^n \), wenn \( x \) sehr groß wird.

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Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = 4 - 7x \) zu bestimmen, setzt man die Funktion gleich null: \[ 4 - 7x = 0 \] Nun löst man die Gleichung nach \( x \) auf: 1. Subtrahiere 4 von beiden S... [mehr]

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Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = 4 - 7x \) zu bestimmen, setzt man die Funktion gleich null: \[ 4 - 7x = 0 \] Nun löst man die Gleichung nach \( x \) auf: 1. Subtrahiere 4 von beiden Seiten: \[ -7x = -4 \] 2. Teile beide Seiten durch -7: \[ x = \frac{4}{7} \] Die Nullstelle der Funktion ist also \( x = \frac{4}{7} \).

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Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = 2x - 4 \) zu bestimmen, setzt man die Funktion gleich null: \[ 2x - 4 = 0 \] Nun löst man die Gleichung nach \( x \) auf: 1. Addiere zu beiden Seiten:... [mehr]

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Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = 2x - 4 \) zu bestimmen, setzt man die Funktion gleich null: \[ 2x - 4 = 0 \] Nun löst man die Gleichung nach \( x \) auf: 1. Addiere zu beiden Seiten: \[2x = 4 \] 2. Teile beide Seiten durch 2: \[ x = 2 \] Die Nullstelle der Funktion ist also \( x = 2 \).