Konvergiert die Folge n/(n^2+1)?

Ja, die Folge \( \frac{n}{n^2 + 1} \) konvergiert. Um dies zu zeigen, kann man den Grenzwert der Folge untersuchen, wenn \( n \) gegen unendlich geht.

Betrachte den Ausdruck \( \frac{n}{n^2 + 1} \):

\[ \frac{n}{n^2 + 1} = \frac{n}{n^2(1 + \frac{1}{n^2})} = \frac{1}{n(1 + \frac{1}{n^2})} \]

Wenn \( n \) gegen unendlich geht, dann geht \( \frac{1}{n^2} \) gegen 0. Daher nähert sich der Ausdruck \( 1 + \frac{1}{n^2} \) dem Wert 1. Somit vereinfacht sich der Ausdruck zu:

\[ \frac{1}{n(1 + \frac{1}{n^2})} \approx \frac{1}{n} \]

Da \( \frac{1}{n} \) gegen 0 geht, wenn \( n \) gegen unendlich geht, folgt daraus, dass:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 1} = 0 \]

Daher konvergiert die Folge \( \frac{n}{n^2 + 1} \) gegen 0.