Welche Zahl ergänzt, wenn kgV 12 und Produkt 60?

Um die gesuchte Zahl zu finden, die in den Zwischenraum kommt, wenn der kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) 12 und das Produkt 60 ist, können wir die Beziehung zwischen kgV und dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) nutzen. Die Formel lautet: \[ \text{kgV}(a, b) \times \text{ggT}(a, b) = a \times b \] Hier ist \( \text{kgV} = 12 \) und \( a \times b = 60 \). Wir setzen die Werte in die Formel ein: \[ 12 \times \text{ggT}(a, b) = 60 \] Um den ggT zu finden, teilen wir beide Seiten durch 12: \[ \text{ggT}(a, b) = \frac{60}{12} = 5 \] Jetzt wissen wir, dass das Produkt der beiden Zahlen \( a \) und \( b \) 60 ist und ihr ggT 5. Wir können die beiden Zahlen als \( a = 5m \) und \( b = 5n \) darstellen, wobei \( m \) und \( n \) teilerfremd sind (d.h. \( \text{ggT}(m, n) = 1 \)). Das Produkt wird dann: \[ (5m) \times (5n) = 25mn = 60 \] Daraus folgt: \[ mn = \frac{60}{25} = 2.4 \] Da \( m \) und \( n \) ganze Zahlen sein müssen, ist es sinnvoll, die möglichen Werte für \( a \) und \( b \) zu betrachten, die die Bedingungen erfüllen. Die möglichen Paare, die ein Produkt von 60 haben und deren ggT 5 ist, sind: - \( (5, 12) \) - \( (15, 4) \) Das kgV von \( 5 \) und \( 12 \) ist \( 60 \), und das kgV von \( 15 \) und \( 4 \) ist \( 12 \). Die gesuchte Zahl, die in den Zwischenraum kommt, ist also \( 5 \) oder \( 15 \).