Warum ist die iterierte Quersumme des Ergebnisses durch 9 teilbar, wenn ich von einer dreistelligen Zahl AB0 mit a>=1 a und B subtrahiere?

Um zu verstehen, warum die iterierte Quersumme des Ergebnisses immer durch 9 teilbar ist, betrachten wir die dreistellige Zahl \( AB0 \), wobei \( A \) und \( B \) Ziffern sind und \( A \geq 1 \). Diese Zahl kann mathematisch als \( 100A + 10B + 0 \) dargestellt werden. Wenn du \( A \) und \( B \) von dieser Zahl subtrahierst, erhältst du: \[ AB0 - A - B = (100A + 10B) - A - B = 99A + 9B \] Nun können wir \( 99A + 9B \) umformen: \[ 99A + 9B = 9(11A + B) \] Da \( 9(11A + B) \) offensichtlich durch 9 teilbar ist, ist auch das Ergebnis \( 99A + 9B \) durch 9 teilbar. Die iterierte Quersumme eines Ergebnisses ist die Summe der Ziffern, die wiederholt summiert wird, bis eine einstellige Zahl erreicht wird. Da die Quersumme einer Zahl die gleiche Restklasse modulo 9 hat wie die Zahl selbst, ist die iterierte Quersumme von \( 99A + 9B \) ebenfalls durch 9 teilbar. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die iterierte Quersumme des Ergebnisses immer durch 9 teilbar ist, weil das Ergebnis \( 99A + 9B \) selbst durch 9 teilbar ist.