Warum ist die iterierte Quersumme des Ergebnisses durch 9 teilbar, wenn ich von einer dreistelligen Zahl AB0 mit a>=1 a und B subtrahiere?

Question

Warum ist die iterierte Quersumme des Ergebnisses durch 9 teilbar, wenn ich von einer dreistelligen Zahl AB0 mit a>=1 a und B subtrahiere?

Antwort

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Accepted Answer

Um zu verstehen, warum die iterierte Quersumme des Ergebnisses immer durch 9 teilbar ist, betrachten wir die dreistellige Zahl \( AB0 \), wobei \( A \) und \( B \) Ziffern sind und \( A \geq 1 \). Diese Zahl kann mathematisch als \( 100A + 10B + 0 \) dargestellt werden. Wenn du \( A \) und \( B \) von dieser Zahl subtrahierst, erhältst du: \[ AB0 - A - B = (100A + 10B) - A - B = 99A + 9B \] Nun können wir \( 99A + 9B \) umformen: \[ 99A + 9B = 9(11A + B) \] Da \( 9(11A + B) \) offensichtlich durch 9 teilbar ist, ist auch das Ergebnis \( 99A + 9B \) durch 9 teilbar. Die iterierte Quersumme eines Ergebnisses ist die Summe der Ziffern, die wiederholt summiert wird, bis eine einstellige Zahl erreicht wird. Da die Quersumme einer Zahl die gleiche Restklasse modulo 9 hat wie die Zahl selbst, ist die iterierte Quersumme von \( 99A + 9B \) ebenfalls durch 9 teilbar. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die iterierte Quersumme des Ergebnisses immer durch 9 teilbar ist, weil das Ergebnis \( 99A + 9B \) selbst durch 9 teilbar ist.

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0,5 als Bruch kann als 1/2 dargestellt werden.

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0,5 als Bruch kann als 1/2 dargestellt werden.

Kategorie: Mathematik Tags: Bruch Zahl Rechnung

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Die Summe von \( \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \) ergibt \( \frac{4}{3} \). Als gemischte Zahl ausgedrückt ist das \( 1 \frac{1}{3} \).

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Kategorie: Mathematik Tags: Ergebnis Gemischte Zahl

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Kategorie: Mathematik Tags: Multiplikation Zahl Negativ

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Accepted Answer

Die Relation \( xRy \) definiert eine Äquivalenzrelation, bei der \( x \) und \( y \) in Relation zueinander, wenn die Differenz \( (x - y) \) durch 8 teilbar ist. Das bedeutet, dass \( x \) und \( y \) in der gleichen Äquivalenzklasse sind, wenn sie den gleichen Rest bei der Division durch 8 haben. Die kleinsten Vertreter der Äquivalenzklassen sind die Reste, die man erhält, wenn man die Zahlen 0 bis 7 betrachtet. Diese Reste sind: - Äquivalenzklasse 0: \( \{ ..., -16, -8, 0, 8, 16, ... \} \) - Äquivalenzklasse 1: \( \{ ..., -15, -7, 1, 9, 17, ... \} \) - Äquivalenzklasse 2: \( \{ ..., -14, -6, 2, 10, 18, ... \} \) - Äquivalenzklasse 3: \( \{ ..., -13, -5, 3, 11, 19, ... \} \) - Äquivalenzklasse 4: \( \{ ..., -12, -4, 4, 12, 20, ... \} \) - Äquivalenzklasse 5: \( \{ ..., -11, -3, 5, 13, 21, ... \} \) - Äquivalenzklasse 6: \( \{ ..., -10, -2, 6, 14, 22, ... \} \) - Äquivalenzklasse 7: \( \{ ..., -9, -1, 7, 15, 23, ... \} \) Die kleinsten Vertreter der Äquivalenzklassen sind also die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7.

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Accepted Answer

Um die kleinsten Vertreter der Relation \( xRy \) zu finden, bei der \( \sigma(x) - \sigma(y) \) durch 5 teilbar ist, betrachten wir die Werte von \( \sigma(n) \) für die ersten natürlichen Zahlen. Die Funktion \( \sigma(n) \) gibt die Summe aller Teiler von \( n \) an. Hier sind die Werte für die ersten paar natürlichen Zahlen: - \( \sigma(1) = 1 \) - \( \sigma(2) = 1 + 2 = 3 \) - \( \sigma(3) = 1 + 3 = 4 \) - \( \sigma(4) = 1 + 2 + 4 = 7 \) - \( \sigma(5) = 1 + 5 = 6 \) - \( \sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 \) - \( \sigma(7) = 1 + 7 = 8 \) - \( \sigma(8) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 \) - \( \sigma(9) = 1 + 3 + 9 = 13 \) - \( \sigma(10) = 1 + 2 + 5 + 10 = 18 \) Nun berechnen wir \( \sigma(n) \mod 5 \): - \( \sigma(1) \mod 5 = 1 \) - \( \sigma(2) \mod 5 = 3 \) - \( \sigma(3) \mod 5 = 4 \) - \( \sigma(4) \mod 5 = 2 \) - \( \sigma(5) \mod 5 = 1 \) - \( \sigma(6) \mod 5 = 2 \) - \( \sigma(7) \mod 5 = 3 \) - \( \sigma(8) \mod 5 = 0 \) - \( \sigma(9) \mod 5 = 3 \) - \( \sigma(10) \mod 5 = 3 \) Die Werte von \( \sigma(n) \mod 5 \) sind: - \( 1, 3, 4, 2, 1, 2, 3, 0, 3, 3 \) Um die kleinsten Vertreter zu finden, die in der Relation \( xRy \) stehen, suchen wir nach Zahlen, deren \( \sigma \)-Werte den gleichen Rest bei Division durch 5 haben. Die kleinsten Vertreter sind: - Für Rest 0: \( 8 \) - Für Rest 1: \( 1, 5 \) - Für Rest 2: \( 4, 6 \) - Für Rest 3: \( 2, 7, 3 \) - Für Rest 4: \( 3 \) Somit sind die kleinsten Vertreter der Relation \( xRy \) die Zahlen \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \).

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Um die gesuchten Zahlen zu finden, können wir Gleichungen aufstellen. 1. **Zahl, die doppelt (3-mal, 6-mal) so groß wird, wenn man 10 addiert:** - Für die doppelte Größe: \( x + 10 = 2x \) - Umgestellt: \( 10 = 2x - x \) - Lösung: \( x = 10 \) - Für die dreifache Größe: \( x + 10 = 3x \) - Umgestellt: \( 10 = 3x - x \) - Lösung: \( x = 5 \) - Für die sechsmalige Größe: \( x + 10 = 6x \) - Umgestellt: \( 10 = 6x - x \) - Lösung: \( x = 2 \) 2. **Zahl, die sich halbiert, wenn man 10 subtrahiert:** - Gleichung: \( x - 10 = \frac{1}{2}x \) - Umgestellt: \( x - \frac{1}{2}x = 10 \) - Lösung: \( \frac{1}{2}x = 10 \) - \( x = 20 \) Zusammenfassend: - Die Zahl, die doppelt so groß wird, wenn man 10 addiert, ist 10. - Die Zahl, die sich halbiert, wenn man 10 subtrahiert, ist 20.

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1/2 kann durch verschiedene Kombinationen von Zahlen dargestellt werden. Eine Möglichkeit ist 1 geteilt durch 2, also 1 ÷ 2 = 1/2. Eine andere Möglichkeit ist 2 geteilt durch 4, also 2 ÷ 4 = 1/2. Generell gilt, dass jede Zahl, die durch eine andere Zahl geteilt wird, die das Doppelte ist, ebenfalls 1/2 ergibt.

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Die Gleichung für das Produkt aus einer Zahl \( x \) und der um zwölf vergrößerten Zahl \( x + 12 \) lautet: \[ x \cdot (x + 12) = 15 \]

Kategorie: Mathematik Tags: Produkt Zahl Gleichung

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Die eulerische Zahl, oft als \( e \) bezeichnet, ist eine mathematische Konstante, die ungefähr den Wert 2,71828 hat. Sie spielt eine zentrale Rolle in der Mathematik, insbesondere in der Analysis und bei Exponentialfunktionen. In Bezug auf Exponentialfunktionen ist \( e \) die Basis der natürlichen Exponentialfunktion \( f(x) = e^x \). Diese Funktion hat die besondere Eigenschaft, dass ihre Ableitung gleich der Funktion selbst ist, also \( f'(x) = e^x \). Dies macht \( e \) zu einer fundamentalen Konstante in vielen Bereichen der Mathematik, einschließlich der Differentialgleichungen, der Finanzmathematik und der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zusammengefasst ist die eulerische Zahl \( e \) die Basis für natürliche Exponentialfunktionen und hat zahlreiche Anwendungen in verschiedenen mathematischen Disziplinen.

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Accepted Answer

Um die nächste Zahl in der Sequenz zu bestimmen, schauen wir uns die Differenzen zwischen den Zahlen an: - 80 - 76 = 4 - 88 - 80 = 8 - 95 - 88 = 7 - 100 - 95 = 5 - 101 - 100 = 1 Die Differenzen sind: 4, 8, 7, 5, 1. Es scheint kein klares Muster in den Differenzen zu geben. Eine mögliche Fortsetzung könnte jedoch sein, dass die nächste Zahl nach 101 einfach um 1 erhöht wird, was 102 ergibt. Daher könnte die nächste Zahl in der Sequenz 102 sein.